ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 658: арифметическая прогрессия
Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.
Сергей Мишин, методист по алгебре Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Найти сумму натуральных чисел
а) меньших 100 и не кратных 3
б) больших 50, но меньших 150 и не кратных 5.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
Для решения задач на сумму чисел с ограничениями (не кратных определённому числу) удобно использовать метод «вычитания». Сначала найдём сумму всех натуральных чисел в заданном диапазоне, а затем вычтем из неё сумму тех чисел, которые являются кратными указанному делителю.
а) Найти сумму натуральных чисел, меньших 100 и не кратных 3.
- Сумма всех натуральных чисел от 1 до 99. Это арифметическая прогрессия с первым членом a1=1, последним членом an=99 и количеством членов n=99. Формула суммы: Sall=(a1+an)·n/2=(1+99)·99/2=100·99/2=50·99=4950
- Сумма чисел, кратных 3, в этом же диапазоне. Числа, кратные 3: 3,6,9,…,99. Это тоже арифметическая прогрессия. Первый член b1=3, последний член bk=99. Найдём количество членов k: так как 99=3·33, то k=33. Сумма этих чисел: Smult3=(b1+bk)·k/2=(3+99)·33/2=102·33/2=51·33 Вычислим произведение: 51·33=51·(30+3)=1530+153=1683.
- Искомая сумма. Вычтем сумму кратных трёх из общей суммы: Sa=Sall-Smult3=4950-1683=3267
б) Найти сумму натуральных чисел, больших 50, но меньших 150 и не кратных 5.
- Определим диапазон. «Больше 50» означает, что первое число — 51. «Меньше 150» означает, что последнее число — 149. Диапазон: [51;149].
- Сумма всех натуральных чисел от 51 до 149. Количество членов n=149-51+1=99. Формула суммы: Sall=(51+149)·99/2=200·99/2=100·99=9900
- Сумма чисел, кратных 5, в этом диапазоне. Найдём первое и последнее число, кратное 5, в интервале [51;149]. Первое: 55 (5·11). Последнее: 145 (5·29). Это арифметическая прогрессия с шагом 5. Найдём количество членов m: m=145-55/5+1=90/5+1=18+1=19 Сумма кратных пяти: Smult5=(55+145)·19/2=200·19/2=100·19=1900
- Искомая сумма. Вычтем сумму кратных пяти из общей суммы: Sb=Sall-Smult5=9900-1900=8000
а) 3267
б) 8000
В пункте а) важно правильно определить границы диапазона (до 99 включительно). В пункте б) ключевым моментом является корректный подсчёт количества членов прогрессии кратных 5 (от 55 до 145), чтобы избежать ошибки при вычитании.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 658 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 658?
Краткий ответ: а) 3267 б) 8000.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: Глава V. Арифметическая и геометрическая прогрессии.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.