ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 661: арифметическая прогрессия
Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.
Артём Савельев, редактор алгебраических разборов Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Упростить выражение
а) дробь, где в числителе произведение x·x2·x3 · ... · xⁿ, а в знаменателе произведение x·x3·x5 · ... · x^(2n-1)
б) дробь, где в числителе произведение x2·x4·x6 · ... · x^(2n), а в знаменателе произведение x·x2·x3 · ... · xⁿ.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
Для упрощения данных выражений воспользуемся свойством степеней с одинаковым основанием: при умножении показателей складываются. То есть xa·xb=xa+b. Нам нужно найти сумму показателей в числителе и знаменателе для каждого пункта.
а) Упрощение первого выражения
В числителе стоит произведение x·x2·x3·...·xn. Показатели образуют арифметическую прогрессию от 1 до n. Сумма показателей в числителе равна сумме первых n натуральных чисел: Sчисл =1+2+3+...+n=n(n+1)/2 Таким образом, числитель равен xn(n+1)/2.
В знаменателе стоит произведение x·x3·x5·...·x2n-1. Показатели образуют арифметическую прогрессию нечётных чисел от 1 до 2n-1. Количество членов этой прогрессии равно n (так как последнее число 2n-1 является n-м нечётным числом). Сумма показателей в знаменателе равна сумме первых n нечётных чисел, которая известна как n2, либо можно вычислить по формуле суммы арифметической прогрессии: Sзнам =(1+(2n-1))·n/2=2n·n/2=n2 Значит, знаменатель равен xn2.
Теперь разделим степени, вычитая показатели: xn(n+1)/2/xn2=xn(n+1)/2-n2 Приведём показатель к общему знаменателю: n(n+1)/2-n2=n2+n-2n2/2=n-n2/2 Итак, ответ для пункта а): xn-n2/2.
б) Упрощение второго выражения
В числителе стоит произведение x2·x4·x6·...·x2n. Показатели образуют арифметическую прогрессию чётных чисел от 2 до 2n. Количество членов равно n. Сумма показателей в числителе: Sчисл =2+4+6+...+2n=2(1+2+...+n)=2·n(n+1)/2=n(n+1)=n2+n Числитель равен xn2+n.
В знаменателе стоит произведение x·x2·x3·...·xn. Это то же самое произведение, что было в числителе пункта а). Сумма показателей равна: Sзнам =n(n+1)/2 Знаменатель равен xn(n+1)/2.
Разделим степени, вычитая показатели: xn2+n/xn(n+1)/2=xn2+n-n(n+1)/2 Вынесем общий множитель (n2+n) или приведём к общему знаменателю: n2+n-n2+n/2=2(n2+n)-(n2+n)/2=n2+n/2 Итак, ответ для пункта б): xn2+n/2.
а) xn-n2/2
б) xn2+n/2
Решение основано на свойствах степеней и суммах арифметических прогрессий. В пункте а) сумма показателей числителя — это сумма первых n натуральных чисел, а знаменателя — сумма первых n нечётных чисел (равная n^2). В пункте б) сумма показателей числителя — это сумма первых n чётных чисел (равная n(n+1)), а знаменателя — снова сумма первых n натуральных чисел.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 661 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 661?
Краткий ответ: а) x^ n-n^22 б) x^ n^2+n2.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: Дополнительные упражнения к главе V.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.