ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 664: арифметическая прогрессия

Для решения задачи воспользуемся формулой суммы первых n членов арифметической прогрессии: S_n=n/2(2a₁+(n-1)d) или через разность сумм. Нам нужно найти a₅₀. Вспомним, что a_n=S_n-S_n-1, но для больших n удобнее использовать свойства линейности. Заметим, что сумма k последовательных членов также образует арифметическую прогрессию относительно своего номера блока, если блоки равной длины.

Пункт а)

Дано: S₂₀=1000, S₄₀=10000. Нужно найти a₅₀.

Рассмотрим суммы блоков по 20 членов: S₂₀=a₁+…+a₂₀=1000 S₄₀-S₂₀=a₂₁+…+a₄₀=10000-1000=9000 Так как члены прогрессии идут подряд с постоянным шагом d, то суммы равных по количеству членов блоков также образуют арифметическую прогрессию. Пусть B₁=S₂₀=1000, B₂=S₄₀-S₂₀=9000. Разность этой новой прогрессии D=B₂-B₁=9000-1000=8000. Тогда третий блок B₃=a₄₁+…+a₆₀=B₂+D=9000+8000=17000. Нам нужен член a₅₀. Он входит в третий блок (a₄₁,…,a₆₀). Это средний член этого блока? Нет, блок содержит 20 членов. Средний член блока из 20 элементов — это среднее арифметическое между 10-м и 11-м элементом блока, то есть между a₅₀ и a₅₁. Или проще: выразим через a₁ и d.

Давайте решим строго через систему уравнений для a₁ и d. 1) S₂₀=20/2(2a₁+19d)=10(2a₁+19d)=1000⇒2a₁+19d=100. 2) S₄₀=40/2(2a₁+39d)=20(2a₁+39d)=10000⇒2a₁+39d=500. Вычтем первое уравнение из второго: (2a₁+39d)-(2a₁+19d)=500-100 20d=400⇒d=20. Подставим d=20 в первое уравнение: 2a₁+19·20=100 2a₁+380=100 2a₁=-280⇒a₁=-140. Теперь найдем a₅₀: a₅₀=a₁+49d=-140+49·20=-140+980=840.

Пункт б)

Дано: S₅=0,5, S₁₅=-81. Найти a₅₀.

Составим систему уравнений: 1) S₅=5/2(2a₁+4d)=0,5⇒5(a₁+2d)=0,5⇒a₁+2d=0,1. 2) S₁₅=15/2(2a₁+14d)=-81⇒15(a₁+7d)=-81⇒a₁+7d=-81/15=-5,4. Вычтем первое уравнение из второго: (a₁+7d)-(a₁+2d)=-5,4-0,1 5d=-5,5⇒d=-1,1. Найдем a₁ из первого уравнения: a₁+2(-1,1)=0,1 a₁-2,2=0,1⇒a₁=2,3. Теперь вычислим a₅₀: a₅₀=a₁+49d=2,3+49·(-1,1). 49·(-1,1)=-(50·1,1-1·1,1)=-(55-1,1)=-53,9. a₅₀=2,3-53,9=-51,6.