ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 667: арифметическая прогрессия

Чтобы определить, является ли последовательность арифметической прогрессией по заданной формуле суммы первых n членов S_n, вспомним ключевое свойство: для любой арифметической прогрессии сумма S_n выражается квадратным трёхчленом относительно n без свободного члена (то есть при n=0 сумма должна быть равна 0). Формула имеет вид S_n=d/2n²+(a₁-d/2)n. Если в выражении присутствует свободный член (число, не умноженное на n), то это не арифметическая прогрессия.

Рассмотрим каждый пункт отдельно:

• а) S_n=-n²+3n. Здесь нет свободного члена. Проверим через разность членов: a_n=S_n-S_n-1.
  a_n=(-n²+3n)-(-(n-1)²+3(n-1))=-n²+3n-(-n²+2n-1+3n-3)=-n²+3n-(-n²+5n-4)=-2n+4.
  Разность a_n+1-a_n=(-2(n+1)+4)-(-2n+4)=-2. Разность постоянна, значит, это арифметическая прогрессия.
• б) S_n=2n²-1. В формуле есть свободный член -1. При n=1, S₁=a₁=1. При n=2, S₂=7, тогда a₂=6. При n=3, S₃=17, тогда a₃=10. Разности: 6-1=5, 10-6=4. Разности не равны, следовательно, это не арифметическая прогрессия.
• в) S_n=n²+2n-8. Есть свободный член -8. Аналогично пункту б), наличие свободного члена нарушает условие для арифметической прогрессии. Проверка: a₁=S₁=1+2-8=-5. a₂=S₂-S₁=(4+4-8)-(-5)=5. a₃=S₃-S₂=(9+6-8)-0=7. Разности: 5-(-5)=10, 7-5=2. Не равны. Это не арифметическая прогрессия.
• г) S_n=6n+5. Это линейная функция от n, а не квадратичная. Для арифметической прогрессии с ненулевой разностью d коэффициент при n² равен d/2. Если d=0, то S_n=na₁, что также не имеет свободного члена. Здесь же есть свободный член 5. Проверка: a₁=11, a₂=S₂-S₁=17-11=6, a₃=S₃-S₂=23-17=6. Хотя начиная со второго члена разность кажется постоянной, первый член выбивается из общей закономерности (11≠6). Строго говоря, арифметическая прогрессия определяется рекуррентно a_n+1=a_n+d для всех n≥1. Здесь a₂-a₁=-5, а a₃-a₂=0. Разности не совпадают. Это не арифметическая прогрессия.