9 класс арифметическая прогрессия Дополнительные упражнения к главе V

ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 665: арифметическая прогрессия

Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.

Мария Волкова, редактор алгебраических разборов Шпаргача обновлено 11 сентября 2026

← 664 666 →

Условие

Записать формулу суммы первых n членов последовательности (an), если

а) an=2n+1

б) an=3-n.

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

Для решения задачи нам нужно найти формулу суммы первых n членов последовательности S_n. Поскольку в обоих случаях заданная последовательность является арифметической прогрессией (общая разность постоянна), мы можем воспользоваться стандартной формулой для суммы арифметической прогрессии:

S_n=a₁+a_n/2·n

где a₁ — первый член последовательности, a_n — n-й член. Также можно использовать формулу через разность d: S_n=na₁+n(n-1)/2d. В данном случае удобнее подставить выражение для a_n непосредственно в первую формулу.

а) a_n=2n+1

Сначала найдем первый член последовательности, подставив n=1 в формулу общего члена:

a₁=2(1)+1=3

Теперь запишем сумму первых n членов, используя формулу S_n=a₁+a_n/2·n:

S_n=3+(2n+1)/2·n

Упростим числитель дроби:

S_n=2n+4/2·n

Вынесем общий множитель 2 из числителя и сократим на знаменатель:

S_n=2(n+2)/2·n=(n+2)n

Раскроем скобки для получения окончательного вида:

S_n=n²+2n

б) a_n=3-n

Найдем первый член последовательности при n=1:

a₁=3-1=2

Подставим a₁ и a_n в формулу суммы:

S_n=2+(3-n)/2·n

Упростим выражение в числителе:

S_n=5-n/2·n

Перемножим полученные слагаемые:

S_n=n(5-n)/2

Или, раскрыв скобки в числителе:

S_n=5n-n²/2

Оба варианта записи верны, но первая форма часто считается более компактной.

Ответ

а) S_n=n²+2n

б) S_n=n(5-n)/2

В обоих пунктах последовательность является арифметической прогрессией. Для пункта а) разность d=2, для пункта б) d=-1. Использована базовая формула суммы арифметической прогрессии через первый и последний члены. Проверка: для а) при n=1, S_1 = 1+2=3, что совпадает с a_1=3. При n=2, S_2 = 4+4=8, сумма членов 3+5=8. Верно. Для б) при n=1, S_1 = 1(4)/2 = 2, совпадает с a_1=2. При n=2, S_2 = 2(3)/2 = 3, сумма членов 2+1=3. Верно.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 665 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 665?

Краткий ответ: а) S_n = n^2 + 2n б) S_n = n(5-n)2.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: Дополнительные упражнения к главе V.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.