9 класс арифметическая прогрессия Дополнительные упражнения к главе V

ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 660: арифметическая прогрессия

Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.

Анна Соколова, редактор алгебраических разборов Шпаргача обновлено 8 сентября 2026

← 659 661 →

Условие

Члены арифметической прогрессии 2; 5; 8; ... с чётными номерами заменили противоположными им числами. В результате получили последовательность (xn). Написать формулу n-го члена этой последовательности и найти сумму первых пятидесяти её членов.

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

План решения:

Найдём формулу n-го члена исходной арифметической прогрессии.
Определим вид последовательности (x_n) после замены членов с чётными номерами на противоположные.
Выведем общую формулу для x_n, учитывая чередование знаков.
Вычислим сумму первых 50 членов новой последовательности, разбив её на пары или используя свойства арифметических прогрессий.

Решение:

1. Исходная арифметическая прогрессия: 2;5;8;… Первый член a₁=2, разность d=5-2=3. Формула n-го члена исходной прогрессии: a_n=a₁+(n-1)d=2+(n-1)·3=3n-1.

2. По условию, члены с чётными номерами (a_2,a_4,…) заменяются противоположными числами. Члены с нечётными номерами остаются без изменений. Обозначим новую последовательность как (x_n). Тогда: x_n={a_n,если n нечётное,-a_n,если n чётное. Подставим выражение для a_n: x_n=(-1)ⁿ⁺¹a_n=(-1)ⁿ⁺¹(3n-1). Это и есть формула n-го члена последовательности (x_n).

3. Найдём сумму первых пятидесяти членов S₅₀. Запишем первые несколько членов, чтобы увидеть закономерность: x₁=a₁=2 x₂=-a₂=-(3·2-1)=-5 x₃=a₃=3·3-1=8 x₄=-a₄=-(3·4-1)=-11 ... Сумма S₅₀=x₁+x₂+x₃+x₄+…+x₄₉+x₅₀. Сгруппируем соседние члены попарно: (x₁+x₂)+(x₃+x₄)+…+(x₄₉+x₅₀). Рассмотрим сумму одной пары (x_2k-1+x_2k): x_2k-1=a_2k-1=3(2k-1)-1=6k-4, x_2k=-a_2k=-(3(2k)-1)=-(6k-1)=-6k+1. Сумма пары: x_2k-1+x_2k=(6k-4)+(-6k+1)=-3. Таким образом, сумма каждой пары соседних членов равна -3.

4. В сумме первых 50 членов содержится 50/2=25 таких пар. Следовательно, общая сумма: S₅₀=25·(-3)=-75.

Проверка: Для малых n: S₂=2-5=-3. Формула даёт 1·(-3)=-3. Верно. S₄=2-5+8-11=-6. Формула даёт 2·(-3)=-6. Верно. Расчёты корректны.

Ответ

а) x_n=(-1)ⁿ⁺¹(3n-1)

б) S₅₀=-75

Ключ совпадает с полученным результатом. Важно аккуратно вывести знак через (-1)ⁿ⁺¹, так как при нечётном n знак плюс, а при чётном минус. Группировка по парам упрощает вычисление суммы.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 660 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 660?

Краткий ответ: а) x_n = (-1)^n+1(3n - 1) б) S_50 = -75.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: Дополнительные упражнения к главе V.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.