9 класс арифметическая прогрессия Глава V. Арифметическая и геометрическая прогрессии

ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 657: арифметическая прогрессия

Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.

Алексей Широков, преподаватель алгебры Шпаргача обновлено 8 сентября 2026

← 656 658 →

Условие

Найти сумму

а) всех натуральных четных чисел до 200 включительно

б) всех натуральных нечетных чисел до 150 включительно

в) всех натуральных чисел кратных 3 в промежутке от 100 до 200.

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

Для решения всех трех пунктов воспользуемся формулой суммы n первых членов арифметической прогрессии: S_n=a₁+a_n/2·n где a₁ — первый член, a_n — последний член, n — количество членов.

а) Сумма всех натуральных четных чисел до 200 включительно

Четные числа образуют арифметическую прогрессию с разностью d=2.
Первый член a₁=2.
Последний член a_n=200.
Найдем количество членов n. По формуле общего члена a_n=a₁+(n-1)d: 200=2+(n-1)·2⇒198=2(n-1)⇒n-1=99⇒n=100.
Вычислим сумму: S₁₀₀=2+200/2·100=202/2·100=101·100=10100.

б) Сумма всех натуральных нечетных чисел до 150 включительно

Нечетные числа образуют арифметическую прогрессию с разностью d=2.
Первый член a₁=1.
Так как нужно число до 150 включительно, а 150 — четное, то последнее нечетное число меньше 150. Это a_n=149.
Найдем количество членов n: 149=1+(n-1)·2⇒148=2(n-1)⇒n-1=74⇒n=75.
Вычислим сумму: S₇₅=1+149/2·75=150/2·75=75·75=5625.

в) Сумма всех натуральных чисел кратных 3 в промежутке от 100 до 200

Ищем числа вида 3k, такие что 100≤3k≤200.
Минимальное число, кратное 3 и большее или равное 100: 100/3=33.(3), значит берем 34·3=102. Первый член a₁=102.
Максимальное число, кратное 3 и меньшее или равное 200: 200/3=66.(6), значит берем 66·3=198. Последний член a_n=198.
Разность прогрессии d=3.
Найдем количество членов n: 198=102+(n-1)·3⇒96=3(n-1)⇒n-1=32⇒n=33.
Вычислим сумму: S₃₃=102+198/2·33=300/2·33=150·33=4950.

Ответ

а) 10100

б) 5625

в) 4950

В пункте б важно заметить, что верхняя граница 150 не входит в множество нечетных чисел, поэтому последним членом является 149. В пункте в необходимо аккуратно определить границы диапазона [100; 200], находя ближайшие целые кратные трем.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 657 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 657?

Краткий ответ: а) 10100 б) 5625 в) 4950.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: Глава V. Арифметическая и геометрическая прогрессии.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.