9 класс арифметическая прогрессия Дополнительные упражнения к главе V

ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 648: арифметическая прогрессия

Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.

Сергей Мишин, редактор алгебраических разборов Шпаргача обновлено 11 сентября 2026

← 647 649 →

Условие

Докажите, что если (y_n) — арифметическая прогрессия, то

а) y₂+y₇=y₄+y₅

б) y_{n-5} + y_{n+10} = y_n+y{n+5}, где n>5.

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

План решения:

Для доказательства равенств в арифметической прогрессии воспользуемся формулой n-го члена: y_k=y₁+(k-1)d, где y₁ — первый член, а d — разность прогрессии. Нам нужно выразить левую и правую части каждого равенства через y₁ и d, упростить полученные выражения и показать их тождественное равенство.

а) Доказательство равенства y₂+y₇=y₄+y₅

Выразим каждый член прогрессии по формуле общего члена:

y₂=y₁+d
y₇=y₁+6d
y₄=y₁+3d
y₅=y₁+4d

Подставим эти выражения в левую часть равенства:

y₂+y₇=(y₁+d)+(y₁+6d)=2y₁+7d

Теперь подставим выражения в правую часть равенства:

y₄+y₅=(y₁+3d)+(y₁+4d)=2y₁+7d

Сравнивая результаты, видим, что 2y₁+7d=2y₁+7d. Равенство верно.

б) Доказательство равенства y_n-5+y_n+10=y_n+y_n+5 при n>5

Выразим члены прогрессии с индексами, зависящими от n:

y_n-5=y₁+((n-5)-1)d=y₁+(n-6)d
y_n+10=y₁+((n+10)-1)d=y₁+(n+9)d
y_n=y₁+(n-1)d
y_n+5=y₁+((n+5)-1)d=y₁+(n+4)d

Преобразуем левую часть равенства:

y_n-5+y_n+10=[y₁+(n-6)d]+[y₁+(n+9)d]=2y₁+(n-6+n+9)d=2y₁+(2n+3)d

Преобразуем правую часть равенства:

y_n+y_n+5=[y₁+(n-1)d]+[y₁+(n+4)d]=2y₁+(n-1+n+4)d=2y₁+(2n+3)d

Левая и правая части равны (2y₁+(2n+3)d=2y₁+(2n+3)d), следовательно, утверждение доказано.

Проверка:

В обоих случаях мы использовали только определение арифметической прогрессии и алгебраические преобразования. Сумма коэффициентов при d в левой и правой частях совпадает, что подтверждает справедливость свойств для любой арифметической прогрессии.

Ответ

а) Доказано: обе части равны 2y₁+7d

б) Доказано: обе части равны 2y₁+(2n+3)d

Решение построено на прямом применении формулы общего члена арифметической прогрессии. Для пункта а) показана симметрия индексов относительно середины отрезка (2+7=9, 4+5=9). Для пункта б) аналогично сумма индексов слева (n-5+n+10 = 2n+5) равна сумме индексов справа (n+n+5 = 2n+5), что является общим свойством арифметических прогрессий.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 648 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 648?

Краткий ответ: а) Доказано: обе части равны 2y_1 + 7d б) Доказано: обе части равны 2y_1 + (2n + 3)d.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: Дополнительные упражнения к главе V.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.