ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 674: К параграфу 10
Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.
Екатерина Новикова, методист по алгебре Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Последовательность (b_n) — геометрическая прогрессия. Докажите, что
а) если b1>0 и q>1, то каждый следующий член прогрессии больше предыдущего
б) если b1>0 и 0<q<1, то каждый следующий член прогрессии меньше предыдущего
в) если b1<0 и q>1, то каждый следующий член прогрессии меньше предыдущего
г) если b1<0 и 0<q<1, то каждый следующий член прогрессии больше предыдущего. Для каждого из рассмотренных случаев приведите пример.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения:
Для доказательства утверждений о возрастании или убывании геометрической прогрессии (bn) будем сравнивать два соседних члена: bn+1 и bn. Вспомним формулу общего члена геометрической прогрессии: bn=b1·qn-1. Тогда следующий член равен bn+1=b1·qn. Чтобы определить разницу между соседними членами, вычислим выражение: bn+1-bn=b1·qn-b1·qn-1=b1·qn-1(q-1) Знак этой разницы зависит от знаков множителей b1, qn-1 и (q-1). Поскольку в условии задачи q>0, то степень положительного числа qn-1 всегда положительна. Таким образом, знак разницы определяется произведением b1(q-1).
Вычисления и доказательства по пунктам:
а) Дано: b1>0 и q>1. Так как q>1, то разность (q-1)>0. Произведение двух положительных чисел b1 и (q-1) положительно. Значит, bn+1-bn>0, откуда следует, что bn+1>bn. Каждый следующий член больше предыдущего. Пример: Пусть b1=2,q=3. Прогрессия: 2;6;18;54;… Здесь 6>2, 18>6 и т.д.
б) Дано: b1>0 и 0<q<1. Так как q<1, то разность (q-1)<0. Произведение положительного числа b1 и отрицательного числа (q-1) отрицательно. Значит, bn+1-bn<0, откуда следует, что bn+1<bn. Каждый следующий член меньше предыдущего. Пример: Пусть b1=16,q=0.5. Прогрессия: 16;8;4;2;… Здесь 8<16, 4<8 и т.д.
в) Дано: b1<0 и q>1. Так как q>1, то разность (q-1)>0. Произведение отрицательного числа b1 и положительного числа (q-1) отрицательно. Значит, bn+1-bn<0, откуда следует, что bn+1<bn. Каждый следующий член меньше предыдущего. Пример: Пусть b1=-2,q=3. Прогрессия: -2;-6;-18;-54;… Здесь -6<-2, так как число -6 находится левее на числовой прямой, чем -2.
г) Дано: b1<0 и 0<q<1. Так как q<1, то разность (q-1)<0. Произведение двух отрицательных чисел b1 и (q-1) положительно. Значит, bn+1-bn>0, откуда следует, что bn+1>bn. Каждый следующий член больше предыдущего. Пример: Пусть b1=-16,q=0.5. Прогрессия: -16;-8;-4;-2;… Здесь -8>-16, так как модуль числа уменьшается, а само число приближается к нулю с отрицательной стороны.
Проверка:
Во всех случаях мы использовали алгебраический метод сравнения через разность членов прогрессии. Логика верна: если разность положительна — последовательность возрастает, если отрицательна — убывает. Примеры подтверждают теоретические выводы, особенно важно обратить внимание на пункты в) и г), где работа с отрицательными числами часто вызывает затруднения у учеников (например, -6 действительно меньше -2).
а) Доказано: при b1>0,q>1 имеем bn+1-bn>0. Пример: 2;6;18...
б) Доказано: при b1>0,01 имеем bn+1-bn0. Пример: -16;-8;-4...
В решении использован универсальный метод сравнения соседних членов через их разность bn+1-bn. Это позволяет строго доказать монотонность для любого знака b1 и любого положительного q. Особое внимание уделено случаям с отрицательным первым членом, чтобы избежать типичной ошибки восприятия 'меньше/больше' для отрицательных чисел.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 674 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 674?
Краткий ответ: а) Доказано: при b_1>0, q>1 имеем b_n+1-b_n > 0. Пример: 2; 6; 18... б) Доказано: при b_1>0, 0 1 имеем b_n+1-b_n 0. Пример: -16; -8; -4.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: К параграфу 10.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.