9 класс геометрическая прогрессия Дополнительные упражнения к главе V

ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 677: геометрическая прогрессия

Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.

Алексей Широков, редактор алгебраических разборов Шпаргача обновлено 11 сентября 2026

← 676 678 →

Условие

В геометрической прогрессии (x_n) найдите неизвестные элементы

а) при q=-1/3, n=5, S_n=20 1/3 найдите x_1 и x_n

б) при x₁=11, x_n=88, S_n=165 найдите q и n

в) при x₁=1/2, q=-1/2, S_n=21/64 найдите n и x_n

г) при q=3, x_n=18\sqrt{3}, S_n=263+24 найдите x_1 и n.

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

Рассмотрим каждый пункт задачи отдельно, используя формулы для геометрической прогрессии: x_n=x₁·q^n-1 и S_n=x₁(qⁿ-1)/q-1 (или S_n=x₁(1-qⁿ)/1-q).

а) При q=-1/3, n=5, S₅=201/3 найдите x₁ и x₅.

Сначала переведем смешанное число в неправильную дробь: S₅=201/3=61/3.

Используем формулу суммы первых n членов:

S₅=x₁(1-q⁵)/1-q

Подставим известные значения:

61/3=x₁(1-(-1/3)⁵)/1-(-1/3)

Вычислим степени и знаменатель:

(-1/3)⁵=-1/243, 1-(-1/3)=1+1/3=4/3 1-(-1/243)=1+1/243=244/243

Уравнение принимает вид:

61/3=x₁·244/243/4/3=x₁·244/243·3/4=x₁·61/81

Находим x₁:

x₁=61/3:61/81=61/3·81/61=81/3=27

Теперь найдем пятый член x₅ по формуле общего члена:

x₅=x₁·q⁴=27·(-1/3)⁴=27·1/81=27/81=1/3

Ответ а): x₁=27, x₅=1/3.

б) При x₁=11, x_n=88, S_n=165 найдите q и n.

Воспользуемся формулой суммы через первый и последний члены (при q≠1):

S_n=x₁+x_n/2·n (неверно для GP, верно: S_n=x₁(qⁿ-1)/q-1 или S_n=x₁-x_nq/1-q)

Более удобный способ — использовать формулу S_n=x₁-x_nq/1-q.

165=11-88q/1-q 165(1-q)=11-88q 165-165q=11-88q 165-11=165q-88q 154=77qimpliesq=2

Теперь найдем n. Используем формулу общего члена x_n=x₁·q^n-1:

88=11·2^n-1 2^n-1=88/11=8 2^n-1=2³impliesn-1=3impliesn=4

Ответ б): q=2, n=4.

в) При x₁=1/2, q=-1/2, S_n=21/64 найдите n и x_n.

Запишем формулу суммы:

S_n=x₁(1-qⁿ)/1-q 21/64=1/2(1-(-1/2)ⁿ)/1-(-1/2)

Знаменатель дроби справа:

1-(-1/2)=3/2

Подставляем:

21/64=1/2(1-(-1/2)ⁿ)/3/2=1/2·2/3·(1-(-1/2)ⁿ)=1/3(1-(-1/2)ⁿ)

Умножим обе части на 3:

63/64=1-(-1/2)ⁿ (-1/2)ⁿ=1-63/64=1/64

Так как результат положительный, степень n должна быть четной. Представим 1/64 как степень 1/2:

1/64=(1/2)⁶=(-1/2)⁶

Следовательно, n=6.

Найдем x₆:

x₆=x₁·q⁵=1/2·(-1/2)⁵=1/2·(-1/32)=-1/64

Ответ в): n=6, x₆=-1/64.

г) При q=3, x_n=183, S_n=263+24 найдите x₁ и n.

Используем формулу S_n=x₁-x_nq/1-q.

263+24=x₁-183·3/1-3 263+24=x₁-18·3/1-3=x₁-54/1-3

Выразим числитель:

x₁-54=(263+24)(1-3)

Раскроем скобки:

(263+24)(1-3)=263-263·3+24-243 =263-26·3+24-243=263-78+24-243 =(263-243)+(-78+24)=23-54

Тогда:

x₁-54=23-54impliesx₁=23

Теперь найдем n из формулы x_n=x₁·q^n-1:

183=23·(3)^n-1 (3)^n-1=183/23=9 (3)^n-1=(3)⁴impliesn-1=4impliesn=5

Ответ г): x₁=23, n=5.

Ответ

а) x₁=27, xₙ = 1/3

б) q=2, n=4

в) n=6, xₙ = -1/64

г) x₁=2\sqrt{3}, n=5

Все пункты решены строго по формулам геометрической прогрессии. В пункте а) важно аккуратно работать с отрицательным основанием и степенями. В пункте б) использована альтернативная форма записи суммы через крайние члены, что упрощает нахождение q. В пункте г) при раскрытии скобок необходимо помнить, что (3)²=3.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 677 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 677?

Краткий ответ: а) x_1 = 27, xₙ = 13 б) q = 2, n = 4 в) n = 6, xₙ = -164 г) x_1 = 2√3, n = 5.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: Дополнительные упражнения к главе V.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.