ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 678: геометрическая прогрессия

План решения:

• Найдём первый член последовательности x₁, используя формулу для суммы первого члена: x₁=S₁.
• Выведем общую формулу для n-го члена x_n через разность сумм: x_n=S_n-S_n-1 при n≥2.
• Проверим, является ли полученная формула для x_n геометрической прогрессией, найдя отношение соседних членов q=x_n+1/x_n.

Вычисление:

1. Найдём первый член x₁. По условию S_n=3/4(5ⁿ-1). Подставим n=1: x₁=S₁=3/4(5¹-1)=3/4·4=3.
2. Найдём общий вид n-го члена x_n для n≥2. Используем соотношение x_n=S_n-S_n-1: x_n=3/4(5ⁿ-1)-3/4(5^n-1-1). Вынесем множитель 3/4 за скобки и упростим выражение в скобках: x_n=3/4(5ⁿ-1-5^n-1+1)=3/4(5ⁿ-5^n-1). Представим 5ⁿ как 5·5^n-1: x_n=3/4(5·5^n-1-5^n-1)=3/4·5^n-1(5-1)=3/4·5^n-1·4. Четвёрки сокращаются: x_n=3·5^n-1.
3. Проверим, что это геометрическая прогрессия. Формула общего члена геометрической прогрессии имеет вид b_n=b₁·q^n-1. Наша формула x_n=3·5^n-1 полностью соответствует этому виду. Найдём знаменатель прогрессии q, разделив x_n+1 на x_n: q=x_n+1/x_n=3·5^(n+1)-1/3·5^n-1=3·5ⁿ/3·5^n-1=5.

Проверка:

Если x₁=3 и q=5, то сумма первых n членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле S_n=b₁(qⁿ-1)/q-1. Подставим наши значения: S_n=3(5ⁿ-1)/5-1=3(5ⁿ-1)/4=3/4(5ⁿ-1). Полученное выражение совпадает с условием задачи. Следовательно, последовательность действительно является геометрической прогрессией с первым членом 3 и знаменателем 5.