9 класс геометрическая прогрессия Дополнительные упражнения к главе V

ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 675: геометрическая прогрессия

Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.

Алексей Широков, методист по алгебре Шпаргача обновлено 11 сентября 2026

← 674 676 →

Условие

Докажите равенства для членов геометрической прогрессии (a_n)

а) произведение a_2 и a_6 равно произведению a_3 и a_5

б) произведение a_{n-3} и a_{n+8} равно произведению a_n и a_{n+5}, при условии n>3.

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

Для доказательства равенств в геометрической прогрессии воспользуемся общей формулой n-го члена: a_n=a₁·q^n-1, где a₁ — первый член, а q — знаменатель прогрессии. Также удобно использовать свойство индексов: если сумма индексов равна, то произведение соответствующих членов равно (m+k=p+l⇒a_m·a_k=a_p·a_l).

а) Докажем, что a₂·a₆=a₃·a₅.

Выразим левую часть через a₁ и q: a₂·a₆=(a₁q¹)·(a₁q⁵)=a21q¹⁺⁵=a21q⁶.
Выразим правую часть: a₃·a₅=(a₁q²)·(a₁q⁴)=a21q²⁺⁴=a21q⁶.
Так как обе части равны a21q⁶, равенство доказано. Заметим, что суммы индексов слева (2+6=8) и справа (3+5=8) совпадают.

б) Докажем, что a_n-3·a_n+8=a_n·a_n+5 при n>3.

Условие n>3 гарантирует, что индекс n-3 является натуральным числом, то есть член прогрессии существует.
Рассмотрим левую часть равенства: a_n-3·a_n+8=(a₁q^(n-3)-1)·(a₁q^(n+8)-1)=a21q^n-4·qⁿ⁺⁷=a21q^(n-4)+(n+7)=a21q²ⁿ⁺³.
Рассмотрим правую часть равенства: a_n·a_n+5=(a₁q^n-1)·(a₁q^(n+5)-1)=a21q^n-1·qⁿ⁺⁴=a21q^(n-1)+(n+4)=a21q²ⁿ⁺³.
Получили одинаковые выражения a21q²ⁿ⁺³ для левой и правой частей. Следовательно, равенство верно.

Ответ

а) a₂·a₆=a21q⁶, a₃·a₅=a21q⁶, равенство доказано.

б) a_n-3·a_n+8=a21q²ⁿ⁺³, a_n·a_n+5=a21q²ⁿ⁺³, равенство доказано.

В решении использован прямой алгебраический вывод через общую формулу члена геометрической прогрессии. Это наиболее надежный способ доказательства для учащихся 9 класса, так как он не требует запоминания свойства сумм индексов, хотя это свойство и упоминается как проверка. Условие n>3 прокомментировано с точки зрения существования члена последовательности.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 675 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 675?

Краткий ответ: а) a_2 · a_6 = a_1^2 q^6, a_3 · a_5 = a_1^2 q^6, равенство доказано. б) a_n-3 · a_n+8 = a_1^2 q^2n+3, a_n · a_n+5 = a_1^2 q^2n+3, равенство доказано.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: Дополнительные упражнения к главе V.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.