9 класс геометрическая прогрессия Дополнительные упражнения к главе V

ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 680: геометрическая прогрессия

Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.

Екатерина Новикова, редактор алгебраических разборов Шпаргача обновлено 11 сентября 2026

← 679 681 →

Условие

Упростите выражения, используя формулу суммы геометрической прогрессии

а) 1+x+x²+x³+x⁴, где x≠1 и x≠0

б) 1-x+x²-x³+x⁴-x⁵+x⁶, где x≠-1 и x≠0.

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

Для упрощения данных выражений воспользуемся формулой суммы первых n членов геометрической прогрессии: S_n=b₁(1-qⁿ)/1-q или эквивалентной ей S_n=b₁(qⁿ-1)/q-1, где b₁ — первый член прогрессии, а q — знаменатель.

а) Упростим выражение 1+x+x²+x³+x⁴

Определим параметры прогрессии. Первый член b₁=1. Чтобы найти знаменатель q, разделим второй член на первый: q=x/1=x. Проверим для следующего члена: x²/x=x. Знаменатель постоянен, значит, это геометрическая прогрессия.
Подсчитаем количество членов n. В сумме присутствуют степени от 0 до 4, всего 5 членов (n=5).
Применим формулу суммы. Так как по условию x≠1, знаменатель дроби не равен нулю. Подставляем значения в формулу S_n=b₁(qⁿ-1)/q-1: S₅=1·(x⁵-1)/x-1=x⁵-1/x-1.

б) Упростим выражение 1-x+x²-x³+x⁴-x⁵+x⁶

Определим параметры прогрессии. Первый член b₁=1. Найдем знаменатель q, разделив второй член на первый: q=-x/1=-x. Проверим третий член: 1·(-x)²=x², что совпадает с условием. Значит, это геометрическая прогрессия со знаменателем q=-x.
Подсчитаем количество членов n. Степени идут от 0 до 6, всего 7 членов (n=7).
Применим формулу суммы. По условию x≠-1, следовательно, q=-x≠1, и знаменатель дроби 1-q не обращается в ноль. Используем формулу S_n=b₁(1-qⁿ)/1-q: S₇=1·(1-(-x)⁷)/1-(-x).
Упростим полученное выражение. Учтем, что (-x)⁷=-x⁷ (так как степень нечетная). Тогда числитель станет 1-(-x⁷)=1+x⁷. Знаменатель: 1-(-x)=1+x. Итоговая дробь: 1+x⁷/1+x.

Ответ

а) x⁵-1/x-1

б) 1+x⁷/1+x

В пункте а) важно правильно определить количество членов (5 штук), так как часто ошибаются, считая максимальную степень показателем n. В пункте б) ключевой момент — работа со знаком при возведении отрицательного числа в нечетную степень: (-x)⁷=-x⁷, поэтому в числителе получается сумма 1+x⁷.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 680 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 680?

Краткий ответ: а) x^5 - 1x - 1 б) 1 + x^71 + x.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: Дополнительные упражнения к главе V.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.