ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 698: Упражнения для повторения курса 7–9 классов

План решения:

Для оценки относительной погрешности приближенного значения необходимо разделить абсолютную погрешность на само это значение и умножить результат на 100%. В условии дано, что площадь равна 91 тыс. км² с точностью до 500 км². Это означает, что абсолютная погрешность β не превышает половины единицы последнего разряда или указана как предельная ошибка измерения. Обычно в таких задачах «с точностью до...» подразумевает, что максимальная абсолютная погрешность равна половине этого шага округления, либо сама величина шага является границей ошибки. Однако стандартное школьное определение: если число записано с точностью до d, то абсолютная погрешность βd/2. Но часто в простых задачах под «точностью до 500» понимают, что истинное значение отличается от приближенного не более чем на 500 (или 250). Давайте посмотрим на формулировку строго. «С точностью до 500 км²» обычно означает, что последняя значащая цифра находится в разряде сотен тысяч? Нет, 91 тыс = 91000. Точность до 500 — это шаг сетки. Абсолютная погрешность β принимается равной половине шага округления, то есть β=500/2=250 км². Иногда в упрощенных задачах берут β=500. Проверим оба варианта, но классический подход к оценке погрешности округления: β=0.5·d. Здесь d=500. Значит β=250. Однако, давайте перечитаем контекст задач на оценку погрешности в 7-9 классе. Часто подразумевается, что абсолютная погрешность равна указанному числу, если сказано «погрешность не превышает...». Фраза «с точностью до 500» означает, что число округлено до ближайшего кратного 500. Максимальная ошибка при таком округлении составляет половину интервала, то есть 250. Но иногда учебники трактуют это проще: абсолютная погрешность β=500. Посмотрим на порядок величин. 91000 км². Если β=250, то 250/91000≈0.0027. Если β=500, то 500/91000≈0.0055. Давайте воспользуемся наиболее распространенным в школьной практике определением для фразы «с точностью до h»: абсолютная погрешность β удовлетворяет условию β≤h/2. Для оценки берем верхнюю границу β=h/2. Итак: 1. Переведем данные в одинаковые единицы измерения. 2. Определим абсолютную погрешность. 3. Вычислим относительную погрешность по формуле δ=β/a·100%.

Вычисление:

Дано приближенное значение площади a=91 тыс. км². Переведем в квадратные километры: a=91·1000=91000 км² Указана точность округления h=500 км². Абсолютная погрешность β оценивается как половина шага округления: β=500/2=250 км² Относительная погрешность δ вычисляется по формуле: δ=β/a·100% Подставим числа: δ=250/91000·100% Сократим дробь: 250/91000=25/9100=1/364 Выполним деление: 1/364≈0.002747... Переведем в проценты: 0.002747·100%≈0.27%

Примечание: Если в вашем учебнике принято считать, что «точность до 500» означает абсолютную погрешность, равную 500 (что менее корректно математически, но встречается в некоторых старых сборниках), то расчет будет таким: 500/91000·100%≈0.55%. Однако стандартный ответ для оценки погрешности округления использует половину шага. Будем придерживаться строгого определения: β=250.

Проверка:

Проверим порядок величины. Погрешность 250 км² на фоне 91000 км² действительно мала. 1% от 91000 равен 910. Наша погрешность меньше 910, значит процент должен быть меньше 1%. Полученное значение 0.27% логично. Если бы мы взяли β=500, то получили бы примерно 0.55%, что тоже меньше 1%. Оба ответа одного порядка, но первый точнее соответствует теории ошибок округления.