9 класс Упражнения для повторения курса 7–9 классов

ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 701: Упражнения для повторения курса 7–9 классов

Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.

Вера Лапина, редактор алгебраических разборов Шпаргача обновлено 11 сентября 2026

← 700 702 →

Условие

Доказать тождества

а) (a+2b)(a-2b)(a²+4b²)=a⁴-16b⁴

б) (x-1)(x+1)(x²+1)(x⁴+1)=x⁸-1

в) (a-2)(a+2)(a²-2a+4)(a²+2a+4)=a⁶-64

г) (c²-c-2)(c²+c-2)=c⁴-5c²+4.

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

В этом задании нам нужно доказать четыре алгебраических тождества. Для этого мы будем последовательно преобразовывать левую часть каждого равенства, используя формулы сокращённого умножения (разность квадратов и разность/сумму кубов), пока не получим выражение из правой части.

а) Докажем тождество (a+2b)(a-2b)(a²+4b²)=a⁴-16b⁴

Рассмотрим первые два множителя в левой части: (a+2b)(a-2b).
Применим формулу разности квадратов (x+y)(x-y)=x²-y², где x=a, а y=2b:

(a+2b)(a-2b)=a²-(2b)²=a²-4b²

Теперь подставим полученный результат обратно в исходное выражение:

(a²-4b²)(a²+4b²)

Снова видим произведение вида «разность на сумму». Применим формулу разности квадратов ещё раз, где x=a², а y=4b²:

(a²-4b²)(a²+4b²)=(a²)²-(4b²)²=a⁴-16b⁴

Мы получили правую часть тождества. Тождество доказано.

б) Докажем тождество (x-1)(x+1)(x²+1)(x⁴+1)=x⁸-1

Начнём с первых двух множителей: (x-1)(x+1).
По формуле разности квадратов получаем:

(x-1)(x+1)=x²-1

Умножаем результат на следующий множитель (x²+1):

(x²-1)(x²+1)=(x²)²-1²=x⁴-1

Осталось умножить полученное выражение на последний множитель (x⁴+1):

(x⁴-1)(x⁴+1)=(x⁴)²-1²=x⁸-1

Получили правую часть. Тождество доказано.

в) Докажем тождество (a-2)(a+2)(a²-2a+4)(a²+2a+4)=a⁶-64

Здесь удобно перегруппировать множители. Сгруппируем (a-2) с (a²+2a+4) и (a+2) с (a²-2a+4).
Вспомним формулы разности и суммы кубов:
x³-y³=(x-y)(x²+xy+y²)
x³+y³=(x+y)(x²-xy+y²)
Рассмотрим первую группу: (a-2)(a²+2a+4). Здесь x=a,y=2. Заметим, что 2a=a·2 и 4=2². Это полная формула разности кубов:

(a-2)(a²+2a+4)=a³-2³=a³-8

Рассмотрим вторую группу: (a+2)(a²-2a+4). Здесь x=a,y=2. Заметим, что -2a=-(a·2) и 4=2². Это полная формула суммы кубов:

(a+2)(a²-2a+4)=a³+2³=a³+8

Теперь перемножим результаты групп:

(a³-8)(a³+8)

Это снова разность квадратов, где x=a³,y=8:

(a³)²-8²=a⁶-64

Тождество доказано.

г) Докажем тождество (c²-c-2)(c²+c-2)=c⁴-5c²+4

Обратим внимание на структуру скобок. В обеих есть c²-2 и одночлен с c (-c и +c).
Перегруппируем слагаемые внутри скобок так, чтобы выделить общий блок:

((c²-2)-c)((c²-2)+c)

Пусть A=c²-2 и B=c. Тогда выражение принимает вид (A-B)(A+B).
Применяем формулу разности квадратов:

A²-B²=(c²-2)²-c²

Раскроем квадрат разности (c²-2)²=(c²)²-2·c²·2+2²=c⁴-4c²+4.
Подставим это обратно:

(c⁴-4c²+4)-c²=c⁴-5c²+4

Получили правую часть. Тождество доказано.

Ответ

а) Доказано через двойное применение формулы разности квадратов.

б) Доказано через тройное последовательное применение формулы разности квадратов.

в) Доказано через свертывание в разность и сумму кубов, затем разность квадратов.

г) Доказано через замену переменной и формулу разности квадратов.

Для пункта в) важно показать ученику способ перегруппировки множителей для применения формул кубов, так как прямой порядок слева направо привел бы к более громоздким вычислениям. Для пункта г) ключевой момент — увидеть структуру (A-B)(A+B) после перегруппировки.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 701 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 701?

Краткий ответ: а) Доказано через двойное применение формулы разности квадратов. б) Доказано через тройное последовательное применение формулы разности квадратов. в) Доказано через свертывание в разность и сумму кубов, затем разность квадратов. г) Доказано через замену переменной и формулу разности квадратов.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: Упражнения для повторения курса 7–9 классов.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.