ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 721: Уравнения и системы уравнений

Для доказательства тождеств будем преобразовывать левую часть каждого равенства так, чтобы получить правую часть. В обоих случаях ключевым шагом является разложение числителя на множители с использованием формулы разности квадратов или вынесение общего множителя в знаменателе.

а) Докажем тождество: x-y/xy-yx=y/x+x/y

1. Рассмотрим левую часть (ЛЧ): x-y/xy-yx.
2. Преобразуем знаменатель. Вынесем общий множитель xy за скобки. Заметим, что xy=x²y=x·xy/x... проще так: xy=x·x·y=xxy и yx=y·y·x=yxy. Тогда знаменатель равен xy(x-y).
3. Теперь посмотрим на числитель x-y. Это разность квадратов: (x)²-(y)²=(x-y)(x+y).
4. Подставим полученные выражения в дробь: (x-y)(x+y)/xy(x-y)
5. Сократим на общий множитель (x-y) (при условии x≠y): x+y/xy
6. Разделим почленно числитель на знаменатель: x/xy+y/xy=1/y+1/x
7. Однако в условии справа стоит y/x+x/y. Проверим эквивалентность наших результатов. Умножим числитель и знаменатель первого слагаемого нашего результата 1/y на y/y, получим y/y. Это не совпадает с y/x.
   Давайте пересмотрим условие задачи. Возможно, в знаменателе левой части опечатка в моём прочтении или нужно иначе группировать.
   Перечитаем условие строго: x-y/xy-yx.
   Знаменатель: xy-yx=xxy-yyx=xy(x-y).
   Числитель: (x-y)(x+y).
   Дробь после сокращения: x+y/xy=x/xy+y/xy=1/y+1/x.
   Правая часть по условию: y/x+x/y.
   Приведём правую часть к общему знаменателю xy: yy+xx/xy.
   Наш результат: x+y/xy=(x+y)xy/xy=xy+yx/xy.
   Видно, что xy+yx≠yy+xx в общем случае.
   Проверка условия учебника: Часто в таких задачах правая часть бывает 1/x+1/y или аналогичная. Но если мы должны доказать именно данное равенство, возможно, я неверно интерпретировал запись xy. Может быть, это xy? Нет, стандартная запись.
   Давайте попробуем преобразовать правую часть к виду левой.
   y/x+x/y=yy+xx/xy.
   Левая часть: x-y/xy(x-y)=x+y/xy.
   Равны ли x+y/xy и yy+xx/xy?
   Умножим первое на xy/xy: (x+y)xy/xy=xy+yx/xy.
   Второе: xx+yy/xy.
   Они равны только если xy+yx=xx+yy, что неверно для произвольных x,y.
   Вероятная опечатка в условии пользователя или учебнике. Однако, часто в 9 классе встречается тождество: x-y/x-y=x+y. Или x-y/xy-yx=1/x+1/y? Нет, мы получили 1/y+1/x.
   Посмотрим на пункт б). Там структура похожа.
   Если предположить, что в правой части пункта а) должно быть 1/x+1/y, то доказательство верно.
   Но давайте внимательно посмотрим на запись y/x+x/y. Если x=y, то ЛЧ неопределена (0/0), ПЧ 2/x.
   Возможно, в знаменателе ЛЧ стоит xy-yx? То же самое.
   Возможно, в числителе ЛЧ стоит x-y? Тогда x-y/xy(x-y)=1/xy. Не подходит.
   
   Давайте решим задачу, исходя из того, что нужно упростить левую часть до максимально простого вида, и сравним с правой. Если они не равны, указываем на это. Но обычно такие задания предполагают верное тождество.
   Есть вариант, что правая часть записана как y/xyx... нет.
   Попробуем другой путь: может быть, в условии ошибка в знаке или степенях?
   Например, если бы правая часть была 1/x+1/y, то всё сходится.
   Запишем решение для упрощения левой части, так как это основной навык. А затем покажем, что правая часть требует проверки условий или содержит опечатку в источнике, но формально выполним преобразования.
   
   Корректировка: В некоторых изданиях задачников (например, Мордкович) есть похожие примеры. Давайте проверим пункт б).
   б) a-b/ab+ba=b/b-a/a.
   ЛЧ: Знаменатель ab+ba=ab(a+b).
   Числитель a-b=(a-b)(a+b).
   Дробь: (a-b)(a+b)/ab(a+b)=a-b/ab=a/ab-b/ab=1/b-1/a.
   ПЧ: b/b-a/a=1/b-1/a.
   В пункте б) тождество верно!
   Значит, в пункте а) тоже должно быть верно. Где ошибка в моих рассуждениях по пункту а)?
   ЛЧ а): 1/y+1/x.
   ПЧ а): y/x+x/y.
   Сравним 1/y и y/x. Они равны, если x=y. Но x≠y.
   Сравним структуру ответа б): 1/b-1/a. Записано как b/b-a/a.
   В пункте а) ответ должен быть 1/y+1/x.
   Запись y/x+x/y эквивалентна 1/y+1/x только если x=xy? Нет.
   Возможно, в условии а) правая часть должна быть y/y+x/x? Тогда это 1/y+1/x. Да! Скорее всего, в условии опечатка: вместо x и y в знаменателях правой части должны стоять те же переменные, что и под корнем в числителе, либо просто 1/x+1/y.
   Или, возможно, в левой части знаменатель xx-yy? Нет, там сумма/разность корней.
   
   Будем считать, что задание предполагает упрощение левой части, и мы покажем, что она равна 1/x+1/y. Затем отметим, что правая часть в условии, вероятно, содержит опечатку и должна выглядеть как x/x+y/y (что равносильно 1/x+1/y).
   Однако, как ИИ-учитель, я должен решить то, что дано. Если дано неравенство, я его докажу? Нет, просят доказать тождество. Значит, я должен найти способ, которым они равны. Их нет.
   Я напишу решение для пункта б) полностью корректно. Для пункта а) я приведу упрощение левой части и покажу, что оно равно 1/x+1/y, и добавлю примечание, что правая часть в условии, скорее всего, должна быть x/x+y/y.