ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 752: Упражнения для повторения курса 7–9 классов

Для решения задачи методом графического анализа необходимо представить каждую часть уравнения как отдельную функцию и определить количество точек их пересечения. Если графики пересекаются, то уравнение имеет корни (решения), равные абсциссам этих точек.

а) Уравнение: 1/2x-2=x³

• Рассмотрим две функции: y₁=1/2x-2 (прямая линия с угловым коэффициентом 0.5 и точкой пересечения с осью OY в (0;-2)) и y₂=x³ (кубическая парабола, проходящая через начало координат).
• При x=0: y₁=-2, y₂=0. Прямая ниже параболы.
• При x=2: y₁=1-2=-1, y₂=8. Парабола выше прямой.
• При x=-2: y₁=-1-2=-3, y₂=-8. Прямая выше параболы (-3>-8).
• Так как функция f(x)=x³-1/2x+2 непрерывна и меняет знак на интервалах (-∞;0) и (0;+∞), по теореме о промежуточном значении существует хотя бы один корень в каждом из этих промежутков. Более того, производная 3x²-0.5 показывает наличие экстремумов, но общий вид графиков гарантирует три точки пересечения или одну? Давайте проверим точнее. При больших отрицательных x кубическая функция уходит вниз быстрее прямой. При x=-1: y₁=-2.5, y₂=-1. Прямая ниже. При x=-2: y₁=-3, y₂=-8. Прямая выше. Значит, есть пересечение между -2 и -1. При x=0: прямая ниже. При x=1: y₁=-1.5, y₂=1. Прямая ниже. При x=2: y₁=-1, y₂=8. Прямая ниже. Хм, давайте посмотрим на поведение при x→+∞. x³ растет быстрее, чем 0.5x. Разница x³-0.5x+2. Дискриминант кубического уравнения сложен, но схематически: ветви кубической параболы идут вверх и вниз бесконечно далеко от прямой. Прямая отсекает «хвосты». Обычно такое уравнение имеет 1 или 3 корня. Проверим значение в точке минимума/максимума. Но для школьного уровня достаточно факта: левая часть линейная, правая степенная нечетной степени. Они обязательно пересекутся. Так как x³ проходит через (0,0), а прямая через (0,-2), и при x<0 прямая может быть выше или ниже. В точке x=-1.5: y₁=-2.75, y₂=-3.375. Прямая выше. В точке x=-1: y₁=-2.5, y₂=-1. Прямая ниже. Есть корень. В положительной области: x=1→y₁=-1.5,y₂=1 (парабола выше). x=0→y₁=-2,y₂=0 (парабола выше). А где они могут пересечься справа? Функция g(x)=x³-0.5x+2. g′(x)=3x²-0.5. Нули производной x=±1/6≈±0.4. g(0.4)≈0.064-0.2+2>0. g(-0.4)≈-0.064+0.2+2>0. Локальный минимум положителен, значит, только один корень (отрицательный). Вывод: уравнение имеет корни.

б) Уравнение: -3x-1=x

• Функции: y₁=-3x-1 (убывающая прямая) и y₂=x (возрастающая кривая, область определения x≥0).
• Область определения уравнения ограничена условием x≥0.
• При x=0: y₁=-1, y₂=0. Левая часть меньше правой.
• Так как y₁ убывает (становится все более отрицательным), а y₂ возрастает (становится положительным), они никогда не встретятся при x≥0.
• Схематически: график корня лежит в первой четверти (или на оси), а прямая при x≥0 находится в четвертой четверти (ниже оси OX). Пересечений нет.
• Вывод: уравнение не имеет корней.

в) Уравнение: 1/x=-x²+1

• Функции: y₁=1/x (гипербола) и y₂=-x²+1 (парабола ветвями вниз с вершиной в (0;1)).
• Рассмотрим ветви гиперболы:
• 1. При x>0: гипербола убывает от +∞ до 0. Парабола убывает от 1 до -∞. В точке x=1: y₁=1, y₂=0. Гипербола выше. В точке x=0.5: y₁=2, y₂=0.75. Гипербола выше. Однако при малых x (например, x=0.1): y₁=10, y₂=0.99. Гипербола всегда выше параболы на этом участке? Нет, давайте найдем пересечение. 1/x=1-x²⇒1=x-x³⇒x³-x+1=0. Производная 3x²-1. Минимум при x=1/3≈0.57. Значение f(0.57)=0.18-0.57+1>0. Значит, на x>0 корней нет.
• 2. При x<0: гипербола принимает отрицательные значения (y₁<0). Парабола y₂=1-x². При |x|>1 парабола отрицательна. Например, при x=-1.5: y₁=-0.66, y₂=1-2.25=-1.25. Гипербола выше параболы. При x=-0.5: y₁=-2, y₂=1-0.25=0.75. Гипербола ниже параболы. Поскольку функции непрерывны на интервале (-∞;0), они обязаны пересечься.
• Вывод: уравнение имеет корни.

г) Уравнение: 3+x²=12/x

• Функции: y₁=x²+3 (парабола ветвями вверх, смещенная вверх на 3 единицы, минимум y=3) и y₂=12/x (гипербола).
• При x<0: y₁>0 (так как квадрат неотрицателен), а y₂<0. Пересечений нет.
• При x>0: обе функции положительны.
• Минимальное значение левой части равно 3 (при x=0, но x≠0). Правая часть 12/x может принимать любые положительные значения.
• Проверим точку x=2: y₁=4+3=7, y₂=12/2=6. Левая больше.
• Проверим точку x=1: y₁=1+3=4, y₂=12/1=12. Правая больше.
• Так как при переходе от x=1 к x=2 разность меняет знак, существует точка пересечения.
• Вывод: уравнение имеет корни.