ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 753: Упражнения для повторения курса 7–9 классов

Для решения уравнений графическим методом необходимо представить левую и правую части уравнения как две отдельные функции. Корнями уравнения будут абсциссы точек пересечения графиков этих функций.

а) x³=7x-6

• Рассмотрим функции y₁=x³ (кубическая парабола) и y₂=7x-6 (прямая).
• Построим их в одной системе координат. Прямая пересекает ось OY в точке (0;-6) и имеет угловой коэффициент 7. Кубическая парабола проходит через начало координат и растет быстрее линейной функции при больших |x|.
• Найдем точки пересечения аналитически для проверки: x³-7x+6=0. Подбором корней из делителей свободного члена (±1,±2,±3,±6):
  x=1: 1-7+6=0 — корень.
  x=2: 8-14+6=0 — корень.
  x=-3: -27+21+6=0 — корень.
• Графики пересекаются в трех точках с абсциссами x=-3, x=1, x=2.

б) 6/x=0,5x-2

• Рассмотрим функции y₁=6/x (гипербола) и y₂=0,5x-2 (прямая).
• Гипербола расположена в I и III четвертях. Прямая пересекает ось OY в точке (0;-2) и ось OX в точке (4;0).
• В III четверти гипербола отрицательна, а прямая при x<0 также отрицательна, но давайте проверим пересечение. Умножим на x (при x≠0): 6=0,5x²-2x⇒0,5x²-2x-6=0. Умножим на 2: x²-4x-12=0. По теореме Виета корни x₁=6, x₂=-2.
• Проверим по графику:
  При x=6: y₁=1, y₂=3-2=1. Точка (6;1) есть.
  При x=-2: y₁=-3, y₂=-1-2=-3. Точка (-2;-3) есть.
• Ответ: x=-2, x=6.

в) 4/x=x²-2x

• Функции: y₁=4/x и y₂=x²-2x (парабола).
• Парабола y₂ ветвями вверх, вершина в точке x_v=--2/2=1, y_v=1-2=-1. Нули параболы: x(x-2)=0⇒x=0,x=2.
• Гипербола y₁ в I и III четвертях. В III четверти y₁<0, а парабола при x<0 положительна (x²>0,-2x>0), поэтому пересечений там нет. Ищем только в I четверти (x>0).
• Уравнение: 4=x(x²-2x)=x³-2x²⇒x³-2x²-4=0.
• Подберем целый корень из делителей числа 4: x=1⇒1-2-4≠0; x=2⇒8-8-4≠0; x=-1⇒-1-2-4≠0; x=-2⇒-8-8-4≠0. Целых корней нет.
• Однако, если внимательно посмотреть на графики или решить численно, мы можем найти приближенное значение. Но часто в таких задачах подразумевается наличие «красивого» ответа или ошибка в условии/моих ожиданиях. Давайте перепроверим условие. Может быть 4/x=x²-2? Нет, написано x²-2x.
  Давайте построим грубо. При x=2, y₁=2, y₂=0. Гипербола выше. При x=3, y₁=1.33, y₂=9-6=3. Парабола выше. Значит, корень между 2 и 3.
  При x=2.5, y₁=1.6, y₂=6.25-5=1.25. Парабола ниже гиперболы? 1.25<1.6. Да. Значит корень больше 2.5.
  При x=2.6, y₁≈1.54, y₂=6.76-5.2=1.56. Почти равны.
  Точный корень уравнения x³-2x²-4=0 не является рациональным числом. В школьной практике графическое решение предполагает чтение ответа с чертежа с точностью до десятых. Ориентировочно x≈2.6.

г) x=x³

• Функции: y₁=x (ветвь параболы, повернутой на 90 градусов) и y₂=x³ (кубическая парабола).
• Область определения x≥0.
• Очевидные точки пересечения:
  При x=0: 0=0.
  При x=1: 1=1.
• Проверим другие значения. Для 0<x<1, например x=0.25: 0.25=0.5, 0.25³≈0.015. y₁>y₂.
  Для x>1, например x=2: 2≈1.41, 2³=8. y₂>y₁.
  Так как обе функции непрерывны и монотонно возрастают на [0;+∞), других пересечений быть не может.
• Ответ: x=0, x=1.