9 класс Упражнения для повторения курса 7—9 классов

ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 769: Упражнения для повторения курса 7—9 классов

Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.

Анна Соколова, преподаватель алгебры Шпаргача обновлено 11 сентября 2026

← 768 770 →

Условие

Решить графически системы уравнений

а) y+x²=5x, 2y+5=x

б) x²+y²=25, 2x²+y=6

в) xy=1, x²+y²=9

г) xy=-2, y+8=0.5x².

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

Для решения систем уравнений графическим методом необходимо построить графики каждого уравнения в одной системе координат и найти точки их пересечения. Координаты этих точек являются решениями системы.

а) y+x²=5x, 2y+5=x

Преобразуем первое уравнение к виду y=5x-x². Это парабола с ветвями вниз. Найдим вершину: x₀=-b/2a=-5/-2=2.5, y₀=5(2.5)-(2.5)²=12.5-6.25=6.25. Точки пересечения с осью Ox: x(5-x)=0⇒x=0,x=5.
Второе уравнение преобразуем к виду y=x-5/2=0.5x-2.5. Это прямая.
Найдем точки пересечения аналитически для проверки точности построения:
5x-x²=0.5x-2.5 x²-4.5x-2.5=0 Умножим на 2 для удобства: 2x²-9x-5=0.
Дискриминант D=(-9)²-4·2·(-5)=81+40=121.
x_1,2=9±11/4.
x₁=20/4=5, тогда y₁=0.5(5)-2.5=0.
x₂=-2/4=-0.5, тогда y₂=0.5(-0.5)-2.5=-0.25-2.5=-2.75.
Ответ: (5;0), (-0.5;-2.75).

б) x²+y²=25, 2x²+y=6

Первое уравнение — окружность с центром в начале координат (0;0) и радиусом R=25=5.
Второе уравнение выразим через y: y=6-2x². Это парабола с ветвями вниз, вершина в точке (0;6).
Подставим выражение для y в уравнение окружности или выразим x² из второго уравнения: 2x²=6-y⇒x²=6-y/2.
Подставим в первое уравнение:
6-y/2+y²=25 6-y+2y²=50 2y²-y-44=0 Дискриминант D=(-1)²-4·2·(-44)=1+352=353.
y_1,2=1±353/4. Так как τ≈18.79, то y₁≈19.79/4≈4.95, y₂≈-17.79/4≈-4.45.
Проверим допустимость значений по условию x²≥0⇒6-y≥0⇒y≤6. Оба корня подходят.
Для y₁=1+353/4: x²=6-1+353/4/2=24-1-353/8=23-353/8.
Для y₂=1-353/4: x²=23+353/8.
Графически видно 4 точки пересечения. В школьном курсе часто требуют приближенных ответов или целых решений, если они есть. Здесь целых решений нет. Если требуется точный ответ, он громоздкий. Однако, проверим возможные ошибки в условии или упрощение. Возможно, имелось в виду x²+y²=25 и y=6-2x². При x=±2, y=6-8=-2. Проверка: 4+4=8≠25. При x=±3, y=6-18=-12 (не подходит).
Так как задача «решить графически», достаточно указать порядок нахождения точек пересечения параболы и окружности. Ответы иррациональные.

в) xy=1, x²+y²=9

Первое уравнение — гипербола, расположенная в I и III четвертях (y=1/x).
Второе уравнение — окружность с центром (0;0) и радиусом R=3.
Выразим y=1/x и подставим во второе уравнение:
x²+(1/x)²=9 x²+1/x²=9 Обозначим t=x² (t>0):
t+1/t=9⇒t²-9t+1=0 D=81-4=77 t_1,2=9±77/2 Так как τ≈8.77, то t₁≈8.885, t₂≈0.115. Оба положительны.
x=±t.
Соответственно, будет 4 точки пересечения. Графически это симметричные относительно начала координат и осей точки.

г) xy=-2, y+8=0.5x²

Первое уравнение — гипербола y=-2/x, расположена во II и IV четвертях.
Второе уравнение — парабола y=0.5x²-8, ветви вверх, вершина (0;-8).
Подставим y=-2/x в уравнение параболы:
-2/x=0.5x²-8 Умножим на 2x (при x≠0):
-4=x³-16x x³-16x+4=0 Это кубическое уравнение. Попробуем подобрать рациональные корни среди делителей свободного члена 4: ±1,±2,±4.
P(1)=1-16+4=-11≠0.
P(-1)=-1+16+4=19≠0.
P(2)=8-32+4=-20≠0.
P(-2)=-8+32+4=28≠0.
P(4)=64-64+4=4≠0.
P(-4)=-64+64+4=4≠0.
Целых корней нет. Значит, решение также иррациональное. Графически можно увидеть три точки пересечения (одна в IV четверти, две во II четверти, так как парабола растет быстрее гиперболы).

Ответ

а) (5;0), (-0.5;-2.75)

б) Четыре точки пересечения с иррациональными координатами, определяемыми системой 2y²-y-44=0

в) Четыре точки пересечения с иррациональными координатами, определяемыми системой t²-9t+1=0 где t=x²

г) Три точки пересечения с иррациональными координатами, являющимися корнями уравнения x³-16x+4=0

Задачи б, в, г приводят к уравнениям с иррациональными корнями. В контексте задания 'решить графически' обычно подразумевается демонстрация метода и наличие конечного числа точек пересечения. Для пункта а) получены точные рациональные ответы. Для остальных пунктов приведено аналитическое обоснование количества решений и вид уравнений, которым удовлетворяют координаты.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 769 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 769?

Краткий ответ: а) (5; 0), (-0.5; -2.75) б) Четыре точки пересечения с иррациональными координатами, определяемыми системой 2y^2-y-44=0 в) Четыре точки пересечения с иррациональными координатами, определяемыми системой t^2-9t+1=0 где t=x^2 г) Три точки пересечения с иррациональными координатами, являющимися корнями уравнения x^3-16x+4=0.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: Упражнения для повторения курса 7—9 классов.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.