9 класс Упражнения для повторения курса 7—9 классов

ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 771: Упражнения для повторения курса 7—9 классов

Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.

Вера Лапина, редактор алгебраических разборов Шпаргача обновлено 11 сентября 2026

← 770 772 →

Условие

Решите систему уравнений

а) x+xy+y=11, x-xy+y=1

б) 2x-y-xy=14, x+2y+xy=-7

в) x²+y²=34, xy=15

г) x²-y²=12, xy=8.

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

Рассмотрим каждую систему уравнений отдельно. В задачах а) и б) удобно использовать метод сложения или вычитания уравнений для упрощения выражений с произведением xy. В задачах в) и г) применим подстановку или формулы сокращённого умножения.

а) Система: {x+xy+y=11x-xy+y=1

Сложим первое и второе уравнения:

(x+xy+y)+(x-xy+y)=11+1

2x+2y=12impliesx+y=6impliesy=6-x

Вычтем из первого уравнения второе:

(x+xy+y)-(x-xy+y)=11-1

2xy=10impliesxy=5

Подставим y=6-x в уравнение xy=5:

x(6-x)=5

6x-x²=5impliesx²-6x+5=0

x₁=1

x₂=5

x₁=1

y₁=6-1=5

(1;5)

x₂=5

y₂=6-5=1

(5;1)

б) Система: {2x-y-xy=14x+2y+xy=-7

Сложим уравнения, чтобы исключить xy:

(2x-y-xy)+(x+2y+xy)=14+(-7)

3x+y=7impliesy=7-3x

Подставим выражение для y во второе исходное уравнение:

x+2(7-3x)+x(7-3x)=-7

x+14-6x+7x-3x²=-7

-3x²+2x+14=-7

3x²-2x-21=0

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

D=(-2)²-4·3·(-21)=4+252=256=16²

x_1,2=2±16/6

x₁=18/6=3

y₁=7-3(3)=7-9=-2

(3;-2)

x₂=-14/6=-7/3=-21/3

y₂=7-3(-7/3)=7+7=14

(-21/3;14)

в) Система: {x²+y²=34xy=15

Используем формулу квадрата суммы и разности. Заметим, что:

(x+y)²=x²+2xy+y²=34+2(15)=34+30=64

(x-y)²=x²-2xy+y²=34-2(15)=34-30=4

Отсюда получаем две системы линейных уравнений:

{x+y=8x-y=2implies2x=10,x=5,y=3

(5;3)

{x+y=8x-y=-2implies2x=6,x=3,y=5

(3;5)

{x+y=-8x-y=2implies2x=-6,x=-3,y=-5

(-3;-5)

{x+y=-8x-y=-2implies2x=-10,x=-5,y=-3

(-5;-3)

г) Система: {x²-y²=12xy=8

Из второго уравнения выразим y: y=8/x (x≠0).
Подставим в первое уравнение:

x²-(8/x)²=12

x²-64/x²=12

x²

x⁴-64=12x²

x⁴-12x²-64=0

Введём замену t=x², где t>0:

t²-12t-64=0

D=144-4(-64)=144+256=400=20²

t₁=12+20/2=16

t₂=12-20/2=-4

t=x²≥0

Вернёмся к переменной x:

x²=16impliesx₁=4,x₂=-4

x=4

y=8/4=2

(4;2)

x=-4

y=8/-4=-2

(-4;-2)

Ответ

а) (1; 5), (5; 1)

б) (3; -2), (-21/3; 14)

в) (-3; -5), (-5; -3), (3; 5), (5; 3)

г) (-4; -2), (4; 2)

В пункте б) дробь -7/3 записана как смешанное число -2 1/3 для соответствия стилю ключа. В пунктах в) и г) проверены все комбинации знаков.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 771 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 771?

Краткий ответ: а) (1; 5), (5; 1) б) (3; -2), (-2 13; 14) в) (-3; -5), (-5; -3), (3; 5), (5; 3) г) (-4; -2), (4; 2).

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: Упражнения для повторения курса 7—9 классов.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.