9 класс Упражнения для повторения курса 7—9 классов

ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 774: Упражнения для повторения курса 7—9 классов

Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.

Никита Ершов, преподаватель алгебры Шпаргача обновлено 11 сентября 2026

← 773 775 →

Условие

Не выполняя построения, выясните, пересекаются ли парабола y=x²-x+4 и гипербола y=4/x. Если пересекаются, то укажите координаты точек пересечения. Проиллюстрируйте решение с помощью графиков.

График

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

План решения:

Чтобы найти точки пересечения графиков функций, нужно решить систему уравнений, составленную из формул этих функций.
Приравняем правые части выражений для y, так как в точках пересечения ординаты равны.
Решим полученное рациональное уравнение относительно x.
Найдем соответствующие значения y и запишем координаты точек пересечения.

Вычисление:

Даны функции: парабола y=x²-x+4 и гипербола y=4/x.

Составим уравнение пересечения:

x²-x+4=4/x

Область допустимых значений (ОДЗ): x≠0.

Умножим обе части уравнения на x:

x(x²-x+4)=4 x³-x²+4x=4 x³-x²+4x-4=0

Сгруппируем слагаемые для разложения на множители:

(x³-x²)+(4x-4)=0 x²(x-1)+4(x-1)=0 (x-1)(x²+4)=0

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

x-1=0⇒x₁=1.
x²+4=0⇒x²=-4. Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат числа неотрицателен (x²≥0).

Таким образом, единственное решение по x: x=1.

Найдем координату y, подставив x=1 в любое из исходных уравнений. Удобнее использовать гиперболу:

y=4/1=4

Проверка по параболе:

y=1²-1+4=1-1+4=4

Координаты совпадают. Точка пересечения: (1;4).

Проверка и иллюстрация:

Графически парабола y=x²-x+4 имеет вершину в точке x_v=-b/2a=1/2, y_v=3.75. Она ветвями вверх. Гипербола y=4/x расположена в I и III четвертях. В первой четверти при малых x гипербола уходит в бесконечность, а парабола растет медленнее, но затем парабола обгоняет гиперболу. Точка (1;4) является единственной общей точкой на действительной плоскости.

Ответ

Пересекаются в точке (1; 4)

Ключ подтверждает ответ (1; 4). Решение через приравнивание функций привело к кубическому уравнению, которое легко решается методом группировки. Других действительных корней нет.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 774 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 774?

Краткий ответ: Пересекаются в точке (1; 4).

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: Упражнения для повторения курса 7—9 классов.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.