ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 777: Упражнения для повторения курса 7—9 классов

План решения:

Обозначим искомую дробь как x/y, где x — числитель, а y — знаменатель. Составим систему уравнений на основе двух условий задачи: уменьшение дроби при вычитании единицы из обоих членов и увеличение дроби при прибавлении единицы к обоим членам.

Вычисление:

1. Первое условие: если от числителя и знаменателя отнять по единице, то дробь уменьшится на 1/10. Запишем это равенством:

x-1/y-1=x/y-1/10

2. Второе условие: если к числителю и знаменателю прибавить по единице, то дробь увеличится на 1/15. Запишем это равенством:

x+1/y+1=x/y+1/15

3. Преобразуем первое уравнение. Приведем правую часть к общему знаменателю:

x-1/y-1=10x-y/10y Перекрестно умножим:

10y(x-1)=(y-1)(10x-y) 10xy-10y=10xy-y²-10x+y Сократим 10xy в обеих частях и перенесем все члены в одну сторону:

y²+10x-11y=0 (·)

4. Преобразуем второе уравнение. Приведем правую часть к общему знаменателю:

x+1/y+1=15x+y/15y Перекрестно умножим:

15y(x+1)=(y+1)(15x+y) 15xy+15y=15xy+y²+15x+y Сократим 15xy и упростим:

15y=y²+15x+y y²+15x-14y=0 (··)

5. Теперь у нас есть система из двух уравнений относительно x и y:

{y²+10x-11y=0y²+15x-14y=0 Выразим x из первого уравнения (*):

10x=11y-y²impliesx=11y-y²/10 Подставим это выражение во второе уравнение (**):

y²+15(11y-y²/10)-14y=0 Умножим всё на 10, чтобы избавиться от дроби:

10y²+15(11y-y²)-140y=0 10y²+165y-15y²-140y=0 -5y²+25y=0 Разделим на -5:

y²-5y=0 y(y-5)=0 Так как знаменатель не может быть равен нулю (y≠0), то y=5.

6. Найдем x, подставив y=5 в формулу для x:

x=11·5-5²/10=55-25/10=30/10=3 Итак, искомая дробь равна 3/5.

Проверка:

1. Проверим первое условие: отнимем по единице от числителя и знаменателя:

3-1/5-1=2/4=1/2=0,5 Исходная дробь: 3/5=0,6. Разница: 0,6-0,5=0,1=1/10. Условие выполнено.

2. Проверим второе условие: прибавим по единице к числителю и знаменателю:

3+1/5+1=4/6=2/3≈0,666... Исходная дробь: 3/5=0,6. Разница: 2/3-3/5=10-9/15=1/15. Условие выполнено.