9 класс Упражнения для повторения курса 7—9 классов

ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 776: Упражнения для повторения курса 7—9 классов

Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.

Артём Савельев, преподаватель алгебры Шпаргача обновлено 11 сентября 2026

← 775 777 →

Условие

Если от числителя и знаменателя обыкновенной дроби отнять по единице, то дробь увеличится на 1/6. Если же к числителю и знаменателю прибавить по единице, то дробь уменьшится на 1/10. Найдите эту дробь.

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

Обозначим искомую дробь как x/y, где x — числитель, а y — знаменатель. По условию задачи нам нужно составить систему уравнений на основе двух изменений дроби.

1. Составление первого уравнения

Если от числителя и знаменателя отнять по единице, новая дробь будет равна x-1/y-1. По условию она увеличивается на 1/6 относительно исходной:

x-1/y-1-x/y=1/6

Приведём левую часть к общему знаменателю y(y-1):

y(x-1)-x(y-1)/y(y-1)=1/6 xy-y-xy+x/y(y-1)=1/6 x-y/y(y-1)=1/6

Отсюда получаем первое соотношение: 6(x-y)=y(y-1).

2. Составление второго уравнения

Если к числителю и знаменателю прибавить по единице, новая дробь будет равна x+1/y+1. По условию она уменьшается на 1/10 относительно исходной (то есть исходная больше новой на 1/10):

x/y-x+1/y+1=1/10

Приведём левую часть к общему знаменателю y(y+1):

x(y+1)-y(x+1)/y(y+1)=1/10 xy+x-xy-y/y(y+1)=1/10 x-y/y(y+1)=1/10

Отсюда получаем второе соотношение: 10(x-y)=y(y+1).

3. Решение системы

У нас есть система:

6(x-y)=y²-y
10(x-y)=y²+y

Выразим (x-y) из обоих уравнений:

x-y=y²-y/6 x-y=y²+y/10

Приравняем правые части:

y²-y/6=y²+y/10

Сократим дроби на y (так как y≠0):

y-1/6=y+1/10

Решим пропорцию:

10(y-1)=6(y+1) 10y-10=6y+6 4y=16 y=4

Теперь найдём x. Подставим y=4 в выражение для разности:

x-4=4²-4/6=12/6=2 x=4+2=6

Итак, искомая дробь равна 6/4.

4. Проверка

Исходная дробь: 6/4=1.5.

Отнимаем по 1: 6-1/4-1=5/3≈1.66... Разница: 5/3-6/4=20-18/12=2/12=1/6. Условие выполнено.
Прибавляем по 1: 6+1/4+1=7/5=1.4 Разница: 6/4-7/5=30-28/20=2/20=1/10. Условие выполнено.

Ответ

6/4

Задача сводится к решению системы рациональных уравнений. Ключевой момент — правильное составление знаков при вычитании дробей во втором условии ('дробь уменьшится' означает, что старая дробь минус новая равна заданному значению). Ответ 6/4 можно сократить до 3/2, но обычно в таких задачах оставляют несократимый вид или тот, который получен алгебраически, если не требуется приведение к несократимому виду. В ответе учебника дано 6/4.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 776 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 776?

Краткий ответ: 64.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: Упражнения для повторения курса 7—9 классов.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.