ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 772: Упражнения для повторения курса 7—9 классов
Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.
Алексей Широков, преподаватель алгебры Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Не выполняя построения, выясните, пересекаются ли
а) парабола y=x2-6x+8 и прямая x+y=4
б) прямая x+y=4 и гипербола y=3/x
в) окружности x2+y2=4 и (x-3)2+y2=1
г) окружность (x-1)2+(y-2)2=4 и прямая x+2y=3. Если пересекаются, то укажите координаты точек пересечения. Проиллюстрируйте решение с помощью графиков.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
Для решения задачи будем использовать алгебраический метод: составим систему уравнений для каждой пары графиков и найдём количество решений. Если система имеет хотя бы одно решение, то графики пересекаются.
а) Парабола y=x2-6x+8 и прямая x+y=4
Выразим y из уравнения прямой: y=4-x. Подставим это выражение в уравнение параболы:
4-x=x2-6x+8Перенесём все слагаемые в правую часть и приведём подобные:
x2-5x+4=0Найдём дискриминант квадратного уравнения:
D=(-5)2-4·1·4=25-16=9Так как D>0, уравнение имеет два различных корня, значит, парабола и прямая пересекаются в двух точках. Найдём координаты этих точек:
x1,2=5±9/2=5±3/2 x1=5-3/2=1, x2=5+3/2=4Соответствующие значения y (из уравнения прямой y=4-x):
y1=4-1=3, y2=4-4=0Точки пересечения: (1;3) и (4;0).
б) Прямая x+y=4 и гипербола y=3/x
Из уравнения прямой выразим y: y=4-x. Подставим в уравнение гиперболы:
4-x=3/xУмножим обе части на x (при условии x≠0):
4x-x2=3 x2-4x+3=0Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета или через дискриминант (D=16-12=4):
x1=1, x2=3Найдём соответствующие y:
y1=4-1=3, y2=4-3=1Проверим область определения гиперболы: x≠0, наши корни подходят. Значит, графики пересекаются в двух точках: (1;3) и (3;1).
в) Окружности x2+y2=4 и (x-3)2+y2=1
Определим параметры окружностей:
- Первая окружность: центр O1(0;0), радиус R1=4=2.
- Вторая окружность: центр O2(3;0), радиус R2=1=1.
Найдём расстояние между центрами d=O1O2:
d=(3-0)2+(0-0)2=3Сравним расстояние между центрами с суммой и разностью радиусов:
R1+R2=2+1=3 |R1-R2|=|2-1|=1Так как d=R1+R2, окружности касаются внешним образом. Это означает, что они имеют ровно одну общую точку (точку пересечения).
Чтобы найти координаты точки касания, решим систему уравнений. Вычтем первое уравнение из второго:
(x2-6x+9+y2)-(x2+y2)=1-4 -6x+9=-3 -6x=-12⇒x=2Подставим x=2 в первое уравнение:
22+y2=4⇒4+y2=4⇒y2=0⇒y=0Точка пересечения (касания): (2;0).
г) Окружность (x-1)2+(y-2)2=4 и прямая x+2y=3
Параметры окружности: центр C(1;2), радиус R=2.
Найдём расстояние от центра окружности до прямой. Уравнение прямой: x+2y-3=0. Формула расстояния от точки (x0;y0) до прямой Ax+By+C=0:
d=|Ax0+By0+C|/A2+B2 d=|1·1+2·2-3|/12+22=|1+4-3|/5=2/5Сравним d с радиусом R=2:
2/5≈2/2.236<1<2Так как d<R, прямая проходит через внутреннюю часть круга, то есть пересекает окружность в двух точках.
Найдём координаты точек пересечения. Из уравнения прямой выразим x: x=3-2y. Подставим в уравнение окружности:
((3-2y)-1)2+(y-2)2=4 (2-2y)2+(y-2)2=4 4(1-y)2+(y-2)2=4 4(1-2y+y2)+(y2-4y+4)=4 4-8y+4y2+y2-4y+4=4 5y2-12y+4=0Решим квадратное уравнение относительно y:
Dy=(-12)2-4·5·4=144-80=64 y1,2=12±8/10 y1=20/10=2, y2=4/10=0.4Найдём соответствующие x по формуле x=3-2y:
x1=3-2(2)=-1 x2=3-2(0.4)=3-0.8=2.2Точки пересечения: (-1;2) и (2.2;0.4).
а) Пересекаются в точках (1; 3) и (4; 0)
б) Пересекаются в точках (1; 3) и (3; 1)
в) Касаются в точке (2; 0)
г) Пересекаются в точках (-1; 2) и (2.2; 0.4)
Задача требует проверки взаимного расположения графиков функций. Для а) и б) используется метод подстановки и анализ дискриминанта. Для в) проще всего использовать геометрический подход (расстояние между центрами vs сумма радиусов), но также можно решить алгебраически вычитанием уравнений. Для г) использовано сравнение расстояния от центра до прямой с радиусом, затем алгебраическое нахождение точек.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 772 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 772?
Краткий ответ: а) Пересекаются в точках (1; 3) и (4; 0) б) Пересекаются в точках (1; 3) и (3; 1) в) Касаются в точке (2; 0) г) Пересекаются в точках (-1; 2) и (2.2; 0.4).
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: Упражнения для повторения курса 7—9 классов.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.