9 класс Упражнения для повторения курса 7—9 классов

ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 778: Упражнения для повторения курса 7—9 классов

Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.

Илья Морозов, редактор алгебраических разборов Шпаргача обновлено 8 сентября 2026

← 777 779 →

Условие

Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 41 см, а его площадь равна 180 см². Найдите катеты этого треугольника.

Прямоугольный треугольник

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

План решения:

Обозначим катеты прямоугольного треугольника как a и b.
Используем теорему Пифагора для связи катетов с гипотенузой: a²+b²=c², где c=41 см.
Используем формулу площади прямоугольного треугольника: S=1/2ab, где S=180 см².
Составим систему уравнений и решим её, сведя к квадратному уравнению относительно произведения или суммы катетов.

Вычисление:

Запишем условия задачи в виде системы уравнений: {na²+b²=41²1/2ab=180
Упростим второе уравнение, чтобы найти произведение катетов: ab=180·2=360
Вспомним формулу квадрата суммы: (a+b)²=a²+b²+2ab. Подставим известные значения (a²+b²=41² и ab=360): (a+b)²=41²+2·360 (a+b)²=1681+720=2401 Отсюда находим сумму катетов (так как длины положительны): a+b=2401=49
Теперь у нас есть система, связывающая сумму и произведение двух чисел: {na+b=49ab=360 По теореме Виета числа a и b являются корнями квадратного уравнения: x²-49x+360=0
Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант: D=(-49)²-4·1·360=2401-1440=961 D=961=31 Корни уравнения: x₁=49-31/2=18/2=9 x₂=49+31/2=80/2=40 Таким образом, катеты равны 9 см и 40 см.

Проверка:

Проверим теорему Пифагора: 9²+40²=81+1600=1681. Гипотенуза 1681=41. Верно.
Проверим площадь: S=1/2·9·40=1/2·360=180 см². Верно.

Ответ

9 см и 40 см

Задача сводится к решению системы уравнений через формулы сокращенного умножения и теорему Виета.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 778 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 778?

Краткий ответ: 9 см и 40 см.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: Упражнения для повторения курса 7—9 классов.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.