9 класс Упражнения для повторения курса 7—9 классов

ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 815: Упражнения для повторения курса 7—9 классов

Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.

Илья Морозов, методист по алгебре Шпаргача обновлено 11 сентября 2026

← 814 820 →

Условие

Найдите область определения каждого из выражений

а) 2x-5, 1/(2x-5) и sqrt(2x - 5)

б) 2x²+7x-4, 1/(2x²+7x-4) и sqrt(1/(2x²+7x-4))

в) x²+1, sqrt(x^2 + 1) и 1/(x²+1).

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

Для нахождения области определения каждого выражения необходимо проанализировать допустимые значения переменной x. Вспомним основные ограничения: знаменатель дроби не может быть равен нулю, а подкоренное выражение в квадратном корне должно быть неотрицательным. Если ограничений нет (например, для многочленов), то областью определения является множество всех действительных чисел.

Пункт а)

Выражение 2x-5 является линейной функцией (многочленом первой степени). Никаких ограничений на переменную x здесь нет. Область определения: все действительные числа, x∈(-∞;+∞).
Выражение 1/2x-5 содержит дробь. Знаменатель не должен обращаться в ноль: 2x-5≠0. Решаем неравенство: 2x≠5, откуда x≠2,5. Область определения: (-∞;2,5)∪(2,5;+∞).
Выражение 2x-5 содержит квадратный корень. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: 2x-5≥0. Решаем неравенство: 2x≥5, откуда x≥2,5. Область определения: [2,5;+∞).

Пункт б)

Выражение 2x²+7x-4 — это квадратный трехчлен (многочлен второй степени). Ограничений нет. Область определения: все действительные числа, x∈(-∞;+∞).
Выражение 1/2x²+7x-4 требует, чтобы знаменатель не был равен нулю: 2x²+7x-4≠0. Найдем корни уравнения 2x²+7x-4=0. Дискриминант D=7²-4·2·(-4)=49+32=81. Корни: x₁=-7-9/4=-4, x₂=-7+9/4=0,5. Значит, x≠-4 и x≠0,5. Область определения: (-∞;-4)∪(-4;0,5)∪(0,5;+∞).
Выражение 1/2x²+7x-4 требует, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным: 1/2x²+7x-4≥0. Так как числитель 1>0, то знак всей дроби определяется знаком знаменателя. Чтобы дробь была положительной или равной нулю (но ноль невозможен из-за деления), знаменатель должен быть строго больше нуля: 2x²+7x-4>0. Это неравенство выполняется вне промежутка между корнями -4 и 0,5. То есть x<-4 или x>0,5. Область определения: (-∞;-4)∪(0,5;+∞).

Пункт в)

Выражение x²+1 — многочлен. Ограничений нет. Область определения: все действительные числа, x∈(-∞;+∞).
Выражение x²+1 требует x²+1≥0. Поскольку квадрат любого действительного числа неотрицателен (x²≥0), то сумма x²+1 всегда больше или равна 1, то есть строго положительна. Неравенство верно при любом x. Область определения: все действительные числа, x∈(-∞;+∞).
Выражение 1/x²+1 требует x²+1≠0. Как мы выяснили выше, x²+1≥1, поэтому оно никогда не равно нулю. Ограничений нет. Область определения: все действительные числа, x∈(-∞;+∞).

Ответ

а) x∈(-∞;+∞); x≠2,5; x≥2,5

б) x∈(-∞;+∞); x≠-4,x≠0,5; x0,5

в) x∈(-∞;+∞); x∈(-∞;+∞); x∈(-∞;+∞)

В пункте б) для третьего выражения важно помнить, что под корнем стоит дробь. Числитель положителен, поэтому вся дробь положительна только тогда, когда знаменатель положителен. Равенства нулю быть не может, так как это привело бы к делению на ноль внутри корня, что недопустимо.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 815 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 815?

Краткий ответ: а) x (-∞; +∞); x ≠ 2,5; x 2,5 б) x (-∞; +∞); x ≠ -4, x ≠ 0,5; x 0,5 в) x (-∞; +∞); x (-∞; +∞); x (-∞; +∞).

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: Упражнения для повторения курса 7—9 классов.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.