ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 83: Приложения математики в реальной жизни

План решения:

Для доказательства того, что значения выражений являются рациональными числами, воспользуемся свойством арифметического квадратного корня: x²=|x|. Нам нужно упростить подкоренные выражения, вынеся их из-под знака корня в виде модулей, а затем раскрыть модули, определив знак подмодульного выражения. Если после всех преобразований получится число, которое можно представить в виде обыкновенной дроби (или целое число), то это число рациональное.

Решение пункта а)

Дано выражение: (7-43)²-(4-23)².

1. Применим формулу a²=|a|: (7-43)²-(4-23)²=|7-43|-|4-23|
2. Определим знаки выражений внутри модулей.
   Сравним 7 и 43. Возведём оба числа в квадрат: 7²=49, (43)²=16·3=48. Так как 49>48, то 7>43, следовательно, 7-43>0. Значит, |7-43|=7-43.
   Сравним 4 и 23. Возведём в квадрат: 4²=16, (23)²=4·3=12. Так как 16>12, то 4>23, следовательно, 4-23>0. Значит, |4-23|=4-23.
3. Подставим полученные значения обратно в выражение: (7-43)-(4-23)=7-43-4+23
4. Приведём подобные слагаемые: (7-4)+(-43+23)=3-23

Проверка на рациональность: Число 3-23 содержит иррациональную часть (3). Рациональные числа не содержат иррациональных корней в своей записи (если только они не сокращаются до нуля). Таким образом, значение выражения является иррациональным числом. В условии задачи, вероятно, содержится опечатка или требование доказать обратное неверно для данного конкретного примера в стандартном прочтении. Однако, если внимательно посмотреть на структуру задач такого типа, часто подразумевается свертывание полного квадрата вида (a-b)²=a²-2ab+b². Проверим, не являются ли подкоренные выражения полными квадратами более сложного вида, чтобы корни извлекались без остатка? Нет, мы уже использовали тождество x²=|x|. Результат 3-23 — иррационален.

Примечание: Если бы в условии было, например, (7-43)², где 7-43=(2-3)², то (2-3)⁴=(2-3)²=7-43 — тоже иррационально. Для получения рационального числа обычно требуется сумма или разность сопряжённых иррациональностей, дающая целое число. Здесь же результат 3-23.

Пересмотр условия: Возможно, в учебнике имелось в виду другое выражение или я должен строго следовать математике. Математически ответ: иррациональное число. Но задача просит «Доказать, что ... являются рациональными». Это противоречие. Давайте проверим пункт б).

Решение пункта б)

Дано выражение: (37+127)²+(37-127)².

1. Применим формулу a²=|a|: (37+127)²+(37-127)²=|37+127|+|37-127|
2. Определим знаки выражений внутри модулей.
   37+127 — сумма положительных чисел, значит, она положительна. |37+127|=37+127.
   Сравним 37 и 127. Возведём в квадрат: 37²=1369. (127)²=144·7=1008. Так как 1369>1008, то 37>127, следовательно, 37-127>0. Значит, |37-127|=37-127.
3. Подставим полученные значения: (37+127)+(37-127)
4. Приведём подобные слагаемые: 37+37+127-127=74

Число 74 является целым, а любое целое число — рациональное. Следовательно, для пункта б) утверждение верно.

Возврат к пункту а): Давайте ещё раз внимательно посмотрим на пункт а). Может быть, там опечатка в знаке или числах? Если бы было (7-43)²+(4-23)², то ответ был бы 11-63 (иррац). Если бы было (2-3)²+…? Обычно в таких задачах на «доказательство рациональности» иррациональные части должны сокращаться. В пункте а) они не сокращаются полностью (-43+23=-23). Однако, возможно, в условии подразумевалось выражение вида 7-43-4-23 (без квадратов под корнем)? Тогда 7-43=(2-3)²=2-3. И 4-23=(3-1)²=3-1. Разность: (2-3)-(3-1)=3-23 — всё равно иррационально. Сумма: (2-3)+(3-1)=1 — рационально! Вероятно, в исходном тексте учебника (задача 83) в пункте а) стоит плюс , а не минус, либо другие числа. Но по данному мне тексту стоит минус. Я обязан решить строго по тексту. По тексту получается иррациональное число. Но так как задание требует «Доказать, что ... рациональные», а для б) это удалось, для а) — нет, я укажу на результат вычисления. В школьной практике иногда бывает, что ученик должен заметить ошибку в условии, но здесь я должен дать решение. Я напишу решение для пункта а) честно: получаем иррациональное число. Но, скорее всего, в оригинале задачи №83 в других изданиях или при перепечатке была ошибка. Например, если бы в а) было (7-43)²+(5-26)²... нет. Давайте предположим, что я должен просто выполнить действия. Результат 3-23.

Финальная проверка: а) 3-23 — иррациональное число. б) 74 — рациональное число.