ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 837: Задачи повышенной трудности
Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.
Екатерина Новикова, редактор алгебраических разборов Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Доказать, что все многочлены вида ax3+bx2+cx+d, полученные подстановкой чисел -7, 4, -3 и 6 в каком-либо порядке вместо коэффициентов a, b, c и d, имеют общий корень.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения:
Чтобы доказать наличие общего корня у всех многочленов вида ax3+bx2+cx+d, где коэффициенты a,b,c,d — это числа -7,4,-3,6 в каком-то порядке, нужно найти такое число x0, которое обращает многочлен в ноль при любой перестановке коэффициентов. Это возможно, если сумма коэффициентов с определёнными знаками (в зависимости от степени x) равна нулю для любого распределения чисел по позициям.
Вычисление и анализ:
Рассмотрим значение многочлена P(x)=ax3+bx2+cx+d при x=1. Тогда P(1)=a+b+c+d. Сумма всех четырёх чисел равна: -7+4+(-3)+6=0. Значит, при x=1 многочлен всегда равен нулю, независимо от того, какой коэффициент стоит на месте a, b, c или d. Таким образом, x=1 является общим корнем.
Проверим также случай x=-1. Тогда P(-1)=-a+b-c+d. Эта сумма не обязательно равна нулю для произвольной перестановки. Например, если a=-7,b=4,c=-3,d=6, то -(-7)+4-(-3)+6=7+4+3+6=20≠0. Следовательно, x=-1 не является общим корнем для всех случаев.
Таким образом, единственным гарантированным общим корнем является x=1.
Проверка:
Возьмём две разные перестановки коэффициентов и подставим x=1. 1. Пусть a=-7,b=4,c=-3,d=6. Многочлен: -7x3+4x2-3x+6. При x=1: -7+4-3+6=0. Корень найден. 2. Пусть a=6,b=-3,c=4,d=-7. Многочлен: 6x3-3x2+4x-7. При x=1: 6-3+4-7=0. Корень найден. Доказательство завершено: так как сумма коэффициентов a+b+c+d всегда равна сумме исходных чисел -7+4-3+6=0, то x=1 является корнем любого такого многочлена.
Общий корень: x=1
Ключевое наблюдение: сумма всех предложенных чисел равна нулю. Для кубического многочлена значение при x=1 равно сумме коэффициентов. Поскольку порядок коэффициентов меняется, но их набор остаётся тем же, сумма всегда равна нулю.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 837 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 837?
Краткий ответ: Общий корень: x = 1.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: Задачи повышенной трудности.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.