ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 838: Задачи повышенной трудности

Для доказательства того, что многочлен P(x)=x⁴-4x³-6x²-3x+9 не имеет отрицательных корней, воспользуемся методом подстановки и анализом знаков коэффициентов. Если мы предположим, что существует корень x₀<0, то можно заменить переменную на положительную величину.

Пусть x=-t, где t>0. Подставим это выражение в исходный многочлен:

P(-t)=(-t)⁴-4(-t)³-6(-t)²-3(-t)+9

Раскроем скобки, учитывая знаки при возведении в степень:

• (-t)⁴=t⁴
• -4(-t)³=-4(-t³)=4t³
• -6(-t)²=-6(t²)=-6t²
• -3(-t)=3t

Таким образом, получаем новый многочлен от переменной t:

Q(t)=t⁴+4t³-6t²+3t+9

Нам нужно доказать, что уравнение Q(t)=0 не имеет положительных корней (так как t=-x, а x<0⇒t>0). Для этого сгруппируем члены так, чтобы выделить полные квадраты или заведомо положительные величины. Попробуем представить Q(t) в виде суммы неотрицательных слагаемых.

Рассмотрим разложение:

Q(t)=t⁴+4t³+4t²-10t²+3t+9 Здесь мы добавили и вычли 4t², чтобы сгруппировать первые три члена: (t²+2t)²=t⁴+4t³+4t². Тогда:

Q(t)=(t²+2t)²-10t²+3t+9 Этот путь сложен из-за знака минус перед 10t². Попробуем другую группировку, более эффективную для данного случая. Разложим многочлен на сумму квадратов линейных функций или используем неравенства.

Давайте проверим значения Q(t) для малых t и больших t. Однако строгий алгебраический метод требует представления в виде суммы квадратов. Попробуем следующий прием:

Q(t)=t⁴+4t³+6t²+4t+1-12t²-t+8 Это тоже не выглядит очевидным. Вернемся к исходному виду P(x) и применим правило Декарта или оценку модулей.

Более простой способ: оценим знак P(x) при x<0. Пусть x=-t,t>0. Мы получили Q(t)=t⁴+4t³-6t²+3t+9. Сгруппируем члены следующим образом: Q(t)=t⁴+4t³+3t+9-6t² При малых t доминируют свободный член и линейные члены. При больших t доминирует t⁴. Найдем минимум функции Q(t) на интервале t>0. Производная: Q′(t)=4t³+12t²-12t+3. Корни производной найти сложно. Попробуем другой подход — представление в виде суммы квадратов.

Рассмотрим выражение: Q(t)=(t²+2t-1)²+2t²+7t+8 Проверим раскрытие скобок: (t²+2t-1)²=t⁴+4t²+1+4t³-2t²-4t=t⁴+4t³+2t²-4t+1. Тогда сумма равна: t⁴+4t³+2t²-4t+1+2t²+7t+8=t⁴+4t³+4t²+3t+9. В нашем случае коэффициент при t² равен -6, а здесь получилось +4. Значит, эта группировка не подходит напрямую.

Попробуем другую комбинацию. Нам нужно получить -6t². Пусть Q(t)=(t²+at+b)²+c(t+d)²+e. Или проще: выделим полный квадрат из старших членов. Q(t)=t²(t²+4t-6)+3t+9 Если t достаточно велико, например t≥2, то t²+4t-6≥4+8-6=6>0, значит первое слагаемое положительно, и остальные тоже (3t+9>0). Следовательно, корней нет при t≥2. Осталось проверить интервал 0<t<2. На этом интервале функция непрерывна. Вычислим значение в некоторых точках или найдем минимум. Q(0)=9. Q(1)=1+4-6+3+9=11. Q(0.5)=0.0625+0.5-1.5+1.5+9=9.5625. Похоже, что функция всегда положительна. Докажем это строго для 0<t<2. Перепишем Q(t)=t⁴+4t³+3t+9-6t². Так как t<2, то t²<4, следовательно -6t²>-24. Это слабая оценка. Лучше: Q(t)=t⁴+4t³+9+3t-6t². Применим неравенство Коши или просто оценим снизу. Заметим, что t⁴+9≥6t² по неравенству о средних (AM-GM): t⁴+9/2≥9t⁴=3t²⇒t⁴+9≥6t². Отсюда следует, что t⁴-6t²+9≥0, то есть (t²-3)²≥0. Тогда: Q(t)=(t⁴-6t²+9)+4t³+3t Q(t)=(t²-3)²+4t³+3t Поскольку t>0, то 4t³>0 и 3t>0. Квадрат (t²-3)²≥0. Следовательно, Q(t) является суммой неотрицательного числа и двух строго положительных чисел (при t>0). Значит, Q(t)>0 для всех t>0.

Так как Q(t)=P(-t), то P(x)>0 для всех x<0. Следовательно, уравнение P(x)=0 не имеет решений среди отрицательных чисел.