ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 839: Задачи повышенной трудности
Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.
Алексей Широков, редактор алгебраических разборов Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
При каком значении параметра a сумма квадратов корней квадратного трёхчлена x2 - (a - 2)x-a-1 принимает наименьшее значение?
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
Для решения задачи нам нужно выразить сумму квадратов корней квадратного уравнения через параметр a и найти значение a, при котором эта сумма минимальна.
Дано квадратное трёхчлен: x2-(a-2)x-a-1=0
Пусть x1 и x2 — корни этого уравнения. Согласно теореме Виета:
- x1+x2=a-2
- x1·x2=-a-1
Нам нужно найти минимум выражения S=x21+x22. Воспользуемся формулой сокращённого умножения:
x21+x22=(x1+x2)2-2x1x2Подставим значения из теоремы Виета в эту формулу:
S(a)=(a-2)2-2(-a-1)Раскроем скобки и упростим выражение:
S(a)=(a2-4a+4)+2a+2S(a)=a2-2a+6Получили квадратичную функцию от параметра a: f(a)=a2-2a+6. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх (так как коэффициент при a2 равен 1>0). Следовательно, наименьшее значение функция принимает в вершине параболы.
Координату вершины параболы y=Ax2+Bx+C можно найти по формуле x0=-B/2A. В нашем случае переменная — это a, а коэффициенты равны A=1, B=-2.
amin=--2/2·1=2/2=1Таким образом, сумма квадратов корней принимает наименьшее значение при a=1.
Проверка существования корней:
Убедимся, что при a=1 уравнение действительно имеет действительные корни. Вычислим дискриминант исходного уравнения:
D=b2-4ac=(-(a-2))2-4·1·(-a-1)=(a-2)2+4(a+1)При a=1:
D=(1-2)2+4(1+1)=(-1)2+8=1+8=9>0Так как дискриминант положителен, корни существуют и различны. Решение корректно.
При a=1
Задача сводится к нахождению минимума квадратичной функции, полученной после подстановки сумм и произведений корней (теорема Виета) в формулу суммы квадратов. Важно проверить, что найденный параметр обеспечивает наличие действительных корней (положительный дискриминант).
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 839 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 839?
Краткий ответ: При a = 1.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: Задачи повышенной трудности.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.