ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 840: Задачи повышенной трудности
Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.
Мария Волкова, методист по алгебре Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Доказать, что при любых значениях параметров a, b и c график функции y=(x-a)(x-b)-c2 имеет хотя бы одну общую точку с осью абсцисс (осью x).
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения:
Чтобы доказать, что график функции y=(x-a)(x-b)-c2 имеет хотя бы одну общую точку с осью абсцисс, нужно показать, что уравнение (x-a)(x-b)-c2=0 имеет хотя бы один действительный корень. Это квадратное уравнение относительно x. Наличие действительных корней определяется знаком дискриминанта D. Если D≥0, то корни существуют.
Вычисление:
Раскроем скобки в левой части уравнения:
(x-a)(x-b)-c2=x2-bx-ax+ab-c2=x2-(a+b)x+(ab-c2)Таким образом, мы получили квадратное уравнение вида Ax2+Bx+C=0, где:
- A=1
- B=-(a+b)
- C=ab-c2
Найдем дискриминант этого уравнения по формуле D=B2-4AC:
D=(-(a+b))2-4·1·(ab-c2) D=(a+b)2-4(ab-c2)Раскроем скобки и упростим выражение:
D=a2+2ab+b2-4ab+4c2 D=a2-2ab+b2+4c2Заметим, что первые три члена представляют собой полный квадрат разности:
D=(a-b)2+4c2Проверка и вывод:
Проанализируем полученное выражение для дискриминанта D=(a-b)2+4c2.
- Квадрат любого действительного числа неотрицателен. Следовательно, (a-b)2≥0 при любых значениях a и b.
- Аналогично, c2≥0 при любом значении c, значит, и 4c2≥0.
- Сумма двух неотрицательных чисел также является неотрицательным числом. Поэтому D≥0 при любых параметрах a,b,c.
Так как дискриминант всегда неотрицателен (D≥0), квадратное уравнение (x-a)(x-b)-c2=0 всегда имеет хотя бы один действительный корень (при D>0 — два различных, при D=0 — один).
Наличие действительного корня означает, что существует такое значение x0, при котором y(x0)=0. Точка с координатами (x0;0) лежит на оси абсцисс и принадлежит графику данной функции.
Ответ: Утверждение доказано: график функции всегда имеет хотя бы одну общую точку с осью x.
Доказано через анализ дискриминанта квадратного уравнения (x-a)(x-b)-c2=0. Дискриминант D=(a-b)2+4c2≥0 при любых a,b,c, следовательно, уравнение имеет действительные корни.
Задача сводится к исследованию дискриминанта. Важно аккуратно раскрыть скобки и сгруппировать члены, чтобы получить сумму квадратов. Случай D=0 возможен, если a=b и c=0, тогда точка касания одна. В остальных случаях точек пересечения две.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 840 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 840?
Краткий ответ: Доказано через анализ дискриминанта квадратного уравнения (x-a)(x-b)-c^2=0. Дискриминант D=(a-b)^2+4c^2 0 при любых a,b,c, следовательно, уравнение имеет действительные корни.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: Задачи повышенной трудности.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.