ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 844: Задачи повышенной трудности
Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.
Екатерина Новикова, редактор алгебраических разборов Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Доказать, что многочлен x8+x6-4x4+x2+1 не принимает отрицательных значений.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
Для доказательства того, что многочлен P(x)=x8+x6-4x4+x2+1 не принимает отрицательных значений, удобно сделать замену переменной. Заметим, что все степени x в выражении четные.
Пусть t=x2. Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, то t≥0. Тогда исходный многочлен можно записать как функцию от t: Q(t)=t4+t3-4t2+t+1. Наша задача сводится к доказательству неравенства Q(t)≥0 при всех t≥0.
Попробуем разложить многочлен Q(t) на множители или представить его в виде суммы квадратов. Попробуем выделить полный квадрат из старших членов или сгруппировать слагаемые. Заметим симметрию коэффициентов (1, 1, -4, 1, 1), что характерно для возвратных многочленов. Разделим Q(t) на t2 (при t>0): Q(t)/t2=t2+t-4+1/t+1/t2=(t2+1/t2)+(t+1/t)-4. Пусть y=t+1/t. Тогда y2=t2+2+1/t2, откуда t2+1/t2=y2-2. Подставим это в выражение: Q(t)/t2=(y2-2)+y-4=y2+y-6. Разложим квадратный трехчлен по y: y2+y-6=(y+3)(y-2). Таким образом, Q(t)=t2(y+3)(y-2)=t2(t+1/t+3)(t+1/t-2). Умножим скобки на t, чтобы избавиться от дробей внутри (учитывая, что t2·1/t·1/t=1, но здесь мы просто преобразуем произведение): Q(t)=(t2+3t+1)(t2-2t+1). Второй множитель является полным квадратом: t2-2t+1=(t-1)2. Первый множитель t2+3t+1 имеет дискриминант D=9-4=5>0, корни равны -3±5/2. Оба корня отрицательны. Так как коэффициент при t2 положителен, то парабола ветвями вверх и находится выше оси абсцисс при всех t>0 (так как оба корня меньше нуля). Более строго: при t≥0 имеем t2≥0, 3t≥0, 1>0, следовательно, t2+3t+1>0.
Итак, мы получили представление: Q(t)=(t2+3t+1)(t-1)2. При t≥0: 1) (t-1)2≥0 всегда; 2) t2+3t+1≥1>0. Произведение неотрицательного числа на положительное число неотрицательно. Следовательно, Q(t)≥0 для всех t≥0. Это означает, что исходный многочлен P(x)≥0 для всех действительных x.
Многочлен представлен в виде (x4+3x2+1)(x2-1)2, который неотрицателен при всех x.
Задача решается методом замены переменной t=x2 и последующего разложения полученного биквадратного (или возвратного) многочлена на множители. Ключевой момент — использование свойства возвратного многочлена для деления на t2 и введения новой переменной y=t+1/t.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 844 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 844?
Краткий ответ: Многочлен представлен в виде (x^4 + 3x^2 + 1)(x^2 - 1)^2, который неотрицателен при всех x.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: Задачи повышенной трудности.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.