ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 899: Задачи повышенной трудности
Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.
Павел Лебедев, методист по алгебре Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Найдите значения параметра a, при которых система уравнений x2+y2=9 и y-x=a имеет одно решение; имеет два решения; не имеет решений. При каком наименьшем по модулю значении параметра a система уравнений имеет одно решение?
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения:
Для анализа количества решений системы уравнений воспользуемся геометрическим методом. Первое уравнение x2+y2=9 описывает окружность с центром в начале координат (0;0) и радиусом R=3. Второе уравнение y-x=a, или y=x+a, описывает семейство прямых с угловым коэффициентом 1 и параметром a, который является ординатой точки пересечения прямой с осью OY.
Количество решений системы равно количеству общих точек окружности и прямой. Это зависит от расстояния d от центра окружности до прямой:
- Если d<R, то прямая пересекает окружность в двух точках (два решения).
- Если d=R, то прямая касается окружности (одно решение).
- Если d>R, то прямая не имеет общих точек с окружностью (нет решений).
Вычисление:
Запишем уравнение прямой в общем виде: x-y+a=0. Расстояние от точки (x0;y0)=(0;0) до прямой Ax+By+C=0 вычисляется по формуле:
d=|Ax0+By0+C|/A2+B2Подставим наши значения (A=1,B=-1,C=a,x0=0,y0=0):
d=|1·0+(-1)·0+a|/12+(-1)2=|a|/2Теперь найдем условия для каждого случая:
- Одно решение: Прямая касается окружности, значит d=R. |a|/2=3implies|a|=32impliesa=32 или a=-32
- Два решения: Прямая пересекает окружность, значит d<R. |a|/2<3implies|a|<32implies-32<a<32
- Нет решений: Прямая вне окружности, значит d>R. |a|/2>3implies|a|>32impliesa<-32 или a>32
Второй вопрос задачи: при каком наименьшем по модулю значении параметра a система имеет одно решение? Мы нашли, что одно решение существует только при |a|=32. Следовательно, минимальное значение модуля a равно 32.
Проверка:
Рассмотрим случай a=32. Уравнение прямой: y=x+32. Подставим в уравнение окружности: x2+(x+32)2=9 x2+x2+62x+18=9 2x2+62x+9=0 Дискриминант этого квадратного уравнения: D=(62)2-4·2·9=72-72=0. Так как дискриминант равен нулю, уравнение имеет единственный корень, что подтверждает наличие одного решения системы.
а) Одно решение: a=±32
б) Два решения: -3232 г) Наименьшее по модулю значение a: 32
Использован геометрический метод интерпретации системы уравнений. Окружность радиуса 3 и прямые с наклоном 1. Критическое расстояние (касание) найдено через формулу расстояния от точки до прямой.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 899 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 899?
Краткий ответ: а) Одно решение: a = ± 3√2 б) Два решения: -3√2 3√2 г) Наименьшее по модулю значение a: 3√2.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: Задачи повышенной трудности.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.