ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 900: Задачи повышенной трудности

Для решения уравнений в целых числах будем использовать разложение на множители и анализ делимости. Вспомним формулу разности квадратов: a²-b²=(a-b)(a+b).

а) x²-y²=3

Разложим левую часть на множители:

Так как x и y — целые числа, то множители (x-y) и (x+y) также являются целыми числами. Число 3 является простым, поэтому его единственные целые делители: 1,-1,3,-3. Возможны следующие пары множителей (A,B), где A=x-y и B=x+y, такие что AB=3:

• 1·3=3
• (-1)·(-3)=3
• 3·1=3
• (-3)·(-1)=3

Решим систему для каждого случая, используя формулы x=A+B/2 и y=B-A/2. Заметим, что сумма A+B должна быть четной, чтобы x было целым числом.

1. Случай x-y=1,x+y=3: 2x=4⇒x=2, тогда y=1. Решение: (2;1).
2. Случай x-y=-1,x+y=-3: 2x=-4⇒x=-2, тогда y=-1. Решение: (-2;-1).
3. Случай x-y=3,x+y=1: 2x=4⇒x=2, тогда y=-1. Решение: (2;-1).
4. Случай x-y=-3,x+y=-1: 2x=-4⇒x=-2, тогда y=1. Решение: (-2;1).

Проверка: 2²-1²=4-1=3. Все решения подходят.

б) x²-y²=4

Аналогично разлагаем на множители:

Целые делители числа 4: ±1,±2,±4. Переберем возможные пары множителей (A,B), произведение которых равно 4. Для существования целых решений необходимо, чтобы A и B имели одинаковую четность (так как их сумма 2x и разность 2y должны быть четными).

• Пара (1,4): разные четности, нет целых решений.
• Пара (2,2): обе четные. x-y=2,x+y=2⇒2x=4⇒x=2,y=0. Решение: (2;0).
• Пара (-2,-2): обе четные. x-y=-2,x+y=-2⇒2x=-4⇒x=-2,y=0. Решение: (-2;0).
• Пара (4,1): разные четности, нет целых решений.
• Пара (-1,-4): разные четности, нет целых решений.
• Пара (-4,-1): разные четности, нет целых решений.

Также проверим пару (-2,-2) уже учтена. Есть ли другие? Нет, так как при нечетных делителях сумма будет нечетной (x не будет целым). Например, если бы было x²-y²=5, делители 1 и 5 дали бы x=3,y=2. Здесь же делители 1 и 4 дают x=2.5.

Ответ: (2;0),(-2;0).

в) x²-3/y²=1

Умножим обе части уравнения на y² (при условии y≠0, так как y в знаменателе):

Так как x и y — целые числа, то y² и (x²-1) — целые числа. Произведение двух целых чисел равно 3. Поскольку y²≥0 (квадрат целого числа неотрицателен), а y≠0, то y²>0. Следовательно, оба множителя положительны.

Возможные варианты разложения числа 3 на два положительных целых множителя:

1. y²=1 и x²-1=3.
2. y²=3 и x²-1=1.

Рассмотрим первый случай:

Если y²=1, то y=1 или y=-1. Тогда x²-1=3⇒x²=4⇒x=2 или x=-2. Это дает четыре решения: (2;1),(2;-1),(-2;1),(-2;-1).

Рассмотрим второй случай:

Если y²=3, то y=3, что не является целым числом. Решений нет.

Проверка первого решения: 2²-3/1²=4-3=1. Верно.

г) 4/x²+y²=6

Умножим обе части на x² (при условии x≠0):

Здесь x² — квадрат целого числа, значит x²>0 (так как x≠0). Тогда множитель (y²-6) должен быть отрицательным, чтобы произведение было равно -4.

Переберем возможные значения x². Так как x² является делителем числа 4 (по модулю), то x² может принимать значения 1,2,4. Но x² должно быть полным квадратом целого числа, поэтому x²∈{1,4}.

1. Если x²=1 (то есть x=1 или x=-1): 1·(y²-6)=-4⇒y²-6=-4⇒y²=2 Число 2 не является полным квадратом целого числа. Решений нет.
2. Если x²=4 (то есть x=2 или x=-2): 4·(y²-6)=-4⇒y²-6=-1⇒y²=5 Число 5 не является полным квадратом целого числа. Решений нет.

Таким образом, целых решений у данного уравнения нет.