ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 10: Введение

План решения:

Для ответа на вопросы задачи необходимо вспомнить аксиомы стереометрии и свойства взаимного расположения прямой и плоскости. В частности, ключевым является признак принадлежности прямой плоскости: если две точки прямой лежат в данной плоскости, то вся прямая лежит в этой плоскости. Также нужно рассмотреть возможные варианты расположения прямой относительно треугольника (как части плоскости).

Решение пункта а):

Пусть дан треугольник ABC, лежащий в плоскости β. Прямая l пересекает две стороны треугольника, например, сторону AB в точке M и сторону AC в точке N. Так как точки M и N принадлежат сторонам треугольника, они лежат в плоскости β. Поскольку две различные точки M и N прямой l лежат в плоскости β, то по признаку принадлежности прямой плоскости вся прямая l лежит в плоскости β. Таким образом, утверждение верно.

Решение пункта б):

Прямая проходит через одну из вершин треугольника, например, через вершину A. Вершина A принадлежит плоскости β, содержащей треугольник. Однако наличие одной общей точки с плоскостью не гарантирует, что прямая лежит в этой плоскости. Прямая может пересекать плоскость только в этой точке (быть секущей) или даже быть параллельной плоскости, если бы она не проходила через точку на ней (но здесь она проходит). Главное — одна точка недостаточна для определения положения прямой в пространстве относительно плоскости. Например, можно провести прямую, проходящую через вершину A и выходящую за пределы плоскости треугольника. Следовательно, утверждение неверно.

Проверка и вывод:

В пункте а) мы использовали строгое доказательство через две общие точки. В пункте б) привели контрпример (прямая, пересекающая плоскость в одной точке), показывающий ложность общего утверждения. Ответы согласуются с основными аксиомами стереометрии.