ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 11: Введение

План доказательства.

Для решения задачи воспользуемся аксиомами планиметрии и стереометрии. Нам нужно показать, что существует единственная плоскость, содержащая все прямые, которые проходят через заданную точку A и пересекают заданную прямую l. Ключевым инструментом здесь будет аксиома о существовании плоскости по прямой и точке вне неё, а также свойство пересечения прямой с плоскостью.

Ход вычислений и логических рассуждений.

1. Пусть дана прямая l и точка A, не лежащая на этой прямой (A∉l).
2. Согласно одной из основных аксиом стереометрии, через прямую и точку, не лежащую на ней, можно провести плоскость, и притом только одну. Обозначим эту плоскость как β.
3. Рассмотрим произвольную прямую m, которая проходит через точку A и пересекает прямую l. Пусть точкой их пересечения является B.
4. Так как прямая m проходит через точку A, то A∈m. Так как прямая m пересекает прямую l в точке B, то B∈m и одновременно B∈l.
5. Точка A лежит в плоскости β (по определению построения плоскости). Точка B лежит на прямой l, а вся прямая l лежит в плоскости β. Следовательно, точка B также принадлежит плоскости β.
6. По второй аксиоме стереометрии: если две точки прямой принадлежат данной плоскости, то и вся эта прямая принадлежит данной плоскости. Поскольку A∈β и B∈β, то вся прямая m лежит в плоскости β (m⊂β).

Проверка и вывод.

Мы рассмотрели произвольную прямую m, удовлетворяющую условиям задачи (проходит через A и пересекает l). Доказательство показало, что такая прямая обязательно лежит в плоскости β, построенной по прямой l и точке A. Поскольку выбор прямой m был произвольным, это утверждение верно для всех таких прямых. Таким образом, множество всех прямых, проходящих через точку A и пересекающих прямую l, образует пучок прямых, лежащий в одной плоскости β. Утверждение доказано.