ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 15: Введение

План доказательства.

Пусть даны три прямые a, b и c. По условию они попарно пересекаются. Обозначим точки пересечения: A=a∩b, B=b∩c, C=c∩a. Нам нужно рассмотреть два возможных случая расположения этих точек: когда все три точки совпадают в одну, и когда они различны. В первом случае утверждение о наличии общей точки выполняется тривиально. Во втором случае мы должны доказать, что прямые лежат в одной плоскости.

Ход решения.

Рассмотрим случай, когда точки пересечения A, B и C не совпадают (то есть это три различные точки).

1. Так как прямые a и b пересекаются в точке A, то через эти две пересекающиеся прямые можно провести единственную плоскость. Обозначим эту плоскость за α. Следовательно, a⊂α и b⊂α.
2. Точка B лежит на прямой b, а значит, B∈α. Точка C лежит на прямой a, а значит, C∈α.
3. Прямая c проходит через точки B и C. Поскольку обе эти точки принадлежат плоскости α, то вся прямая c также лежит в этой плоскости (c⊂α). Это следует из аксиомы стереометрии: если две точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая принадлежит этой плоскости.
4. Таким образом, в этом случае все три прямые a, b и c лежат в одной плоскости α.

Теперь рассмотрим случай, когда точки пересечения совпадают. Пусть A=B=C=O. Тогда точка O является точкой пересечения прямых a и b, b и c, а также c и a. Значит, все три прямые проходят через одну общую точку O.

Вывод.

Мы показали, что либо три прямые имеют общую точку пересечения (случай совпадения точек A,B,C), либо они лежат в одной плоскости (случай различных точек A,B,C). Других вариантов для трех попарно пересекающихся прямых не существует. Утверждение доказано.