ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 2: Многогранный угол

План решения:

Для ответа на вопрос а) воспользуемся свойством параллельных прямых и перпендикулярности. Для вопроса б) проанализируем возможные взаимные расположения прямой a и плоскости α, учитывая, что условие задачи не фиксирует положение точки пересечения или параллельность прямой a плоскости α.

Вычисление и рассуждения:

а) Так как прямые b и c параллельны (b∥c), то угол между прямой a и прямой c равен углу между прямой a и прямой b. По условию a⊥b, значит, угол между ними равен 90^°. Следовательно, угол между a и c также равен 90^°, то есть a⊥c. Утверждение верно .

б) Прямая a может занимать различные положения относительно плоскости α. Например, если прямая a лежит в плоскости α, то она не пересекает её (в смысле единственной общей точки). Если прямая a параллельна плоскости α, то общих точек нет. И только если прямая a проходит через точку на плоскости α под углом к ней, происходит пересечение. Поскольку в условии сказано лишь то, что a⊥b, а b⊂α, это не гарантирует, что a не лежит в α и не параллельна ей. Поэтому утверждение о том, что прямая a обязательно пересекает плоскость α, является неверным (или не всегда верным).

Проверка:

Рассмотрим контрпример для пункта б). Пусть плоскость α — это стол, прямая b и c — две параллельные линии на столе. Прямая a может лежать на этом же столе, будучи перпендикулярной линии b. В этом случае a не пересекает плоскость α (она лежит в ней). Значит, вывод о неизбежном пересечении ошибочен. Для пункта а) теорема о перпендикуляре к одной из двух параллельных прямых подтверждает результат.