ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 4: Параллельность прямых и плоскостей

Для решения задачи вспомним определение параллельности прямой и плоскости. Прямая a называется параллельной плоскости α, если они не имеют общих точек. Это означает, что прямая a не пересекает плоскость α.

Разберём каждый пункт утверждения отдельно:

• а) Не пересекает ни одну прямую в плоскости α.
  Это утверждение неверно . Хотя прямая a не лежит в плоскости α и не пересекает её, она может пересекать отдельные прямые, лежащие в этой плоскости, если эти прямые проходят через проекцию точки на плоскость или просто «проходят мимо» в пространстве так, чтобы их продолжения встретились с a. Однако, более строгое геометрическое рассуждение: если бы прямая a пересекала какую-то прямую b⊂α, то точка пересечения принадлежала бы и прямой a, и прямой b. Так как b⊂α, то точка пересечения лежала бы в плоскости α. Но по условию a∥α, значит, у них нет общих точек. Следовательно, прямая a действительно не пересекает ни одну прямую, лежащую в плоскости α.
  Поправка логики для школьного уровня: Часто ученики путают скрещивающиеся и пересекающиеся прямые. Если прямая a параллельна плоскости α, то любая прямая b в плоскости α либо параллельна a, либо скрещивается с ней. Скрещивающиеся прямые не имеют общих точек. Пересекающиеся имеют. Так как a не имеет общих точек с плоскостью, она не может иметь общих точек ни с одной прямой внутри неё. Значит, утверждение верно .
• б) Параллельна любой прямой в плоскости α.
  Это утверждение неверно . Возьмём в плоскости α две прямые b и c, которые пересекаются друг с другом. Прямая a может быть параллельна только одной из них (или neither). Например, пусть a∥b. Тогда a будет скрещиваться с c (так как b и c пересекаются, а a вне плоскости). Прямая не может быть параллельна всем прямым одновременно, если в плоскости есть непараллельные между собой прямые.
• в) Параллельна некоторой прямой в плоскости α.
  Это утверждение верно . Согласно признаку параллельности прямой и плоскости, если прямая, не лежащая в плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна самой плоскости. Обратно: если прямая параллельна плоскости, то через любую точку этой прямой можно провести плоскость, пересекающую данную плоскость по прямой, которая будет параллельна исходной прямой. Или проще: спроецируем прямую a на плоскость α. Полученная проекция a′ лежит в α и параллельна a.

Итак, мы проанализировали все три случая. Утверждение а) верно, так как отсутствие общих точек с плоскостью исключает пересечение с любыми её подмножествами. Утверждение б) ложно, так как направление прямой фиксировано, а направления прямых в плоскости различны. Утверждение в) верно по теореме о параллельности прямой и плоскости.