ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 7: Введение

План решения:

• Используем аксиому о существовании плоскости, проходящей через две пересекающиеся прямые.
• Рассмотрим произвольную прямую l, которая не проходит через точку пересечения M и пересекает обе данные прямые. Докажем, что она лежит в той же плоскости.
• Проанализируем множество всех прямых, проходящих через точку M, чтобы ответить на второй вопрос задачи.

Вычисление и доказательство:

Пусть даны две прямые a и b, которые пересекаются в точке M. Согласно аксиоме стереометрии, через две пересекающиеся прямые можно провести плоскость, и притом только одну. Обозначим эту плоскость за β.

Рассмотрим произвольную прямую l, которая не проходит через точку M, но пересекает прямую a в некоторой точке A и прямую b в некоторой точке B. Так как точка A лежит на прямой a, а прямая a целиком принадлежит плоскости β, то и точка A принадлежит плоскости β. Аналогично, так как точка B лежит на прямой b, а прямая b принадлежит плоскости β, то точка B также принадлежит плоскости β.

По аксиоме, если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся эта прямая лежит в данной плоскости. Следовательно, прямая l, проходящая через точки A и B, целиком лежит в плоскости β. Поскольку прямая l была выбрана произвольно среди всех прямых, удовлетворяющих условию (не проходит через M и пересекает a и b), то все такие прямые лежат в одной плоскости β.

Теперь ответим на второй вопрос: лежат ли в одной плоскости все прямые, проходящие через точку M? Нет, не лежат. Через одну точку в пространстве можно провести бесконечное множество прямых, которые образуют пучок. Эти прямые могут быть направлены в разные стороны пространства. Например, прямая a и прямая b лежат в плоскости β, но существует прямая c, проходящая через M и не лежащая в плоскости β (она будет скрещиваться с любой прямой в β, не проходящей через M, или просто выходить из этой плоскости). Таким образом, все прямые, проходящие через точку M, заполняют всё пространство вокруг этой точки и не ограничены одной плоскостью.

Проверка:

Логика доказательства опирается на фундаментальные аксиомы стереометрии: единственность плоскости через пересекающиеся прямые и принадлежность прямой плоскости при наличии двух общих точек. Утверждение о том, что пучок прямых через точку не является компланарным, интуитивно очевидно (представьте спицы зонта или лучи света от фонаря) и строго следует из того, что для определения плоскости нужно либо три точки, не лежащие на одной прямой, либо две пересекающиеся/параллельные прямые, а одна точка таких ограничений не накладывает.