ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 8: Введение

План решения.

Для ответа на вопросы задачи необходимо вспомнить аксиомы стереометрии и свойства окружности. Окружность — это геометрическое место точек плоскости, равноудалённых от центра. Ключевым фактом является то, что через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость. Также важно понимать, как две точки определяют положение прямой или кривой относительно плоскости.

Вычисление и рассуждения.

а) Утверждение неверно . Если взять только две точки окружности, они задают хорду (отрезок прямой). Эта прямая может пересекать данную плоскость в этих двух точках, но сама окружность при этом будет «наклонена» к плоскости и лежать в другой плоскости. Например, представьте обруч, который стоит ребром на столе: две точки касания есть, но весь обруч не лежит на поверхности стола.

б) Утверждение верно . По аксиоме стереометрии, через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость. Поскольку все точки окружности лежат в одной плоскости (по определению окружности), то если три её точки принадлежат некоторой плоскости α, то и центр окружности, и все остальные её точки должны лежать в той же самой плоскости α. Иначе мы получили бы противоречие с единственностью плоскости, проходящей через эти три точки.

Проверка.

Сравним полученные выводы с геометрическими интуициями. Для пункта а) контрпример с наклоненным кругом подтверждает ложность утверждения. Для пункта б) логика опирается на фундаментальную аксиому о трех точках, определяющих плоскость. Так как окружность плоская фигура, совпадение трёх её точек с плоскостью α означает полное совпадение всей фигуры с этой плоскостью.