ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 6: Введение

План доказательства.

Для того чтобы доказать утверждение, необходимо опираться на фундаментальные аксиомы стереометрии. Вспомним одну из основных аксиом: через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна. Также важно помнить свойство отрезка: если два конца отрезка принадлежат некоторой плоскости, то весь этот отрезок лежит в данной плоскости.

Ход решения.

Пусть даны три точки A, B и C. Рассмотрим два возможных случая их взаимного расположения.

1. Случай 1: Точки не лежат на одной прямой.

По аксиоме прохождения плоскости через три точки, существует единственная плоскость β, содержащая точки A, B и C. Поскольку концы отрезка AB (точки A и B) лежат в плоскости β, то и весь отрезок AB лежит в этой плоскости. Аналогично, так как точки B и C лежат в β, то отрезок BCβ. Так как точки A и C лежат в β, то отрезок ACβ. Следовательно, все три отрезка AB, BC и AC лежат в одной плоскости β.

1. Случай 2: Точки лежат на одной прямой.

Если точки A, B и C коллинеарны, то они образуют одну прямую l. По другой аксиоме, через любую прямую можно провести бесконечное множество плоскостей. Выберем одну такую плоскость β, проходящую через прямую l. Тогда все точки прямой l, включая A, B и C, лежат в плоскости β. Соответственно, отрезки AB, BC и AC, являющиеся частями прямой l, также полностью лежат в плоскости β.

Проверка и вывод.

В обоих случаях мы показали, что существует хотя бы одна плоскость, содержащая все три заданные точки. А поскольку отрезок однозначно определяется своими концами, то наличие концов в плоскости гарантирует нахождение всего отрезка в ней. Таким образом, утверждение доказано: все отрезки, соединяющие данные три точки попарно, лежат в одной плоскости.