ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 5: Введение

План решения.

Для доказательства существования плоскости воспользуемся аксиомами стереометрии. Нам даны три точки A, B и C, лежащие на одной прямой l. Согласно первой аксиоме, через любые две различные точки проходит прямая. Согласно второй аксиоме, через прямую и точку, не лежащую на ней, проходит единственная плоскость. Однако здесь все три точки лежат на одной прямой. Вспомним следствие из аксиом: через прямую проходит бесконечное множество плоскостей (как страницы в книге, где корешок — это прямая). Но задача требует доказать существование хотя бы одной такой плоскости и определить их количество.

Вычисление и обоснование.

1. Существование: Возьмем любую плоскость β, содержащую прямую l. Так как точки A,B,C лежат на прямой l, то они автоматически принадлежат плоскости β. Следовательно, такая плоскость существует. 2. Количество: Рассмотрим прямую l как ось вращения. Плоскость можно «вращать» вокруг этой оси. Для любого угла поворота мы получаем новую плоскость, проходящую через ту же прямую l, а значит, и через точки A,B,C. Поскольку угол может принимать непрерывный диапазон значений от 0^• до 360^•, различных положений плоскости бесконечно много.

Проверка.

Если бы точки не лежали на одной прямой, то через них проходила бы единственная плоскость (третья аксиома). Но так как условие явно указывает на коллинеарность точек, случай единственности исключается. Мы доказали, что плоскость существует (так как любая плоскость, содержащая данную прямую, подходит), и что таких плоскостей не одна и не две, а бесконечное множество. Это согласуется с геометрической интуицией: прямая не фиксирует положение плоскости в пространстве однозначно.