ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 650: Метод координат в пространстве. Движения

План решения:

Два вектора коллинеарны, если их соответствующие координаты пропорциональны. То есть для векторов u(x₁;y₁;z₁) и v(x₂;y₂;z₂) должно выполняться равенство x₁/x₂=y₁/y₂=z₁/z₂ (при условии, что знаменатели не равны нулю). Если хотя бы одна пара координат не образует одинаковую дробь или деление на ноль невозможно при ненулевом числителе, векторы неколлинеарны. Особый случай: нулевой вектор коллинеарен любому вектору.

Вычисление по пунктам:

а) Векторы a(3;6;8) и b(6;12;16). Проверим отношения координат: 3/6=1/2, 6/12=1/2, 8/16=1/2 Все отношения равны 1/2. Следовательно, векторы коллинeарны .

б) Векторы c(1;-1;3) и d(2;3;15). Проверим отношения координат: 1/2=0.5, -1/3≈-0.33, 3/15=0.2 Отношения различны (0.5≠-0.33≠0.2). Следовательно, векторы неколлинеарны .

в) Векторы i(1;0;0) и j(0;1;0). Это базисные орты осей Ox и Oy. Попробуем составить отношение первых координат: 1/0 — деление на ноль невозможно. Отношение вторых координат: 0/1=0. Так как мы не можем получить единый коэффициент пропорциональности (или проверить его через перекрестное умножение: 1·1≠0·0), векторы неколлинеарны . Они перпендикулярны.

г) Векторы m(0;0;0) и n(5;7;-3). Вектор m является нулевым. По определению, нулевой вектор считается коллинеарным любому другому вектору. Следовательно, векторы коллинeарны .

д) Векторы p(1/3;-1;5) и q(-1;-3;-15). Проверим отношения координат: 1/3/-1=-1/3, -1/-3=1/3, 5/-15=-1/3 Видим, что первое и третье отношения равны -1/3, а второе равно 1/3. Поскольку -1/3≠1/3, пропорция нарушена. Следовательно, векторы неколлинеарны .

Проверка и вывод:

Мы последовательно применили критерий коллинеарности к каждой паре векторов. Для пунктов а) и г) условие выполнено, для б), в) и д) — нет. Результаты согласуются с геометрическим смыслом (например, перпендикулярность ортов в п. в).