ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 652: Метод координат в пространстве. Движения

План решения. Для проверки компланарности трёх векторов необходимо вычислить их смешанное произведение. Если смешанное произведение равно нулю, то векторы лежат в одной плоскости (компланарны). Смешанное произведение вычисляется как определитель матрицы 3×3, составленной из координат данных векторов. Векторы i(1;0;0), j(0;1;0) и k(0;0;1) являются базисными единичными векторами.

Вычисления по пунктам:

• а) Векторы a(-3;-3;0), i(1;0;0), j(0;1;0). Составим определитель: Δ=-3-30100010 Раскрываем по третьей строке или столбцу. Заметим, что все элементы третьего столбца равны нулю, следовательно, определитель равен 0. Векторы компланарны .
• б) Векторы a(2;0;-3), i(1;0;0), j(0;1;0). Определитель: Δ=20-3100010 Раскроем по второму столбцу: единственный ненулевой элемент — 1 на позиции (3,2). Знак алгебраического дополнения (-1)³⁺²=-1. Минор: M₃₂=2-310=2·0-(-3)·1=3 Тогда Δ=1·(-1)·3=-3≠0. Векторы не компланарны .
• в) Векторы c(1;0;-2), i(1;0;0), k(0;0;1). Определитель: Δ=10-2100001 Второй столбец состоит только из нулей, значит, определитель равен 0. Векторы компланарны .
• г) Векторы d(1;-1;2), e(-2;0;1), f(5;-1;0). Определитель: Δ=1-12-2015-10 Раскроем по первой строке: Δ=1·01-10-(-1)·-2150+2·-205-1 Δ=1(0-(-1))+1(0-5)+2(2-0)=1-5+4=0 Векторы компланарны .
• д) Векторы m(1;0;2), n(1;1;-1), p(-1;2;4). Определитель: Δ=10211-1-124 Раскроем по первой строке: Δ=1·1-124-0+2·11-12 Δ=1(4-(-2))+2(2-(-1))=6+2(3)=6+6=12≠0 Векторы не компланарны .
• е) Векторы q(0;5;3), r(3;3;3), s(1;1;4). Определитель: Δ=053333114 Раскроем по первой строке: Δ=0-5·3314+3·3311 Заметим, что во втором миноре строки пропорциональны (3/1=3/1), поэтому он равен 0. Первый минор: 3·4-3·1=9. Δ=-5(9)+3(0)=-45≠0 Векторы не компланарны .

Проверка. Результаты согласуются с теорией линейной алгебры: если один из векторов является линейной комбинацией двух других, смешанное произведение обращается в ноль. В пунктах а) и в) это очевидно геометрически (вектор лежит в плоскости, образованной двумя другими). В пункте г) мы получили точный ноль, что подтверждает компланарность. В остальных случаях ненулевые значения указывают на объём параллелепипеда, построенного на этих векторах, отличный от нуля.