ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 8.6: Задачи для подготовки к ЕГЭ

План решения.

В правильной шестиугольной призме основаниями являются правильные шестиугольники, а боковые рёбра перпендикулярны плоскости оснований. Нам нужно найти расстояние между точками D и F₁. Точка D лежит в нижнем основании, а точка F₁ — в верхнем. Расстояние между ними можно найти, рассмотрев прямоугольный треугольник, образованный отрезком DF (диагональ или сторона в основании), вертикальным ребром FF₁ и искомым отрезком DF₁ как гипотенузой. Сначала определим длину отрезка DF в основании, затем воспользуемся теоремой Пифагора для нахождения DF₁.

Вычисление.

Рассмотрим основание призмы — правильный шестиугольник ABCDEF. Все его стороны равны 23, так как все рёбра призмы равны 23. Нам нужно найти длину диагонали DF.

В правильном шестиугольнике внутренние углы равны 120^°. Рассмотрим треугольник DEF. Стороны DE=EF=23, угол ∠DEF=120^°. По теореме косинусов найдём сторону DF:

Подставим значения:

Теперь рассмотрим треугольник DFF₁. Так как призма прямая, боковое ребро FF₁ перпендикулярно плоскости основания, значит, FF₁⊥DF. Треугольник DFF₁ — прямоугольный с катетами DF и FF₁ и гипотенузой DF₁.

Известно, что FF₁=23 (боковое ребро). Найдём DF₁ по теореме Пифагора:

Проверка.

Логика решения верна: мы свели задачу о расстоянии между скрещивающимися (в пространстве) точками к последовательному решению задач в плоскостях. Сначала нашли проекцию расстояния на основание (DF), используя свойства правильного шестиугольника. Затем использовали факт перпендикулярности бокового ребра основанию для применения теоремы Пифагора. Числовые вычисления проверены: 3+1=4, корень из 4 равен 2, 2·23=46. Ответ выглядит корректным для задачи такого типа.