ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 8.7: Задачи для подготовки к ЕГЭ

План решения:

Для нахождения угла E₁EA₁ рассмотрим треугольник E₁EA₁. Нам необходимо определить длины его сторон и тип треугольника. В правильной шестиугольной призме боковые рёбра перпендикулярны плоскости основания, а все рёбра равны между собой. Это означает, что грань AA₁E₁E является прямоугольником (или квадратом, так как все рёбра равны). Угол E₁EA₁ — это угол между диагональю грани AE₁ и ребром EE₁? Нет, внимательно посмотрим на обозначения. Треугольник образован точками E₁, E и A₁. Стороны этого треугольника: EE₁ (боковое ребро), EA₁ (диагональ грани AA₁E₁E) и E₁A₁ (сторона верхнего основания).

Вычисление:

1. По условию все рёбра призмы равны 49. Значит, EE₁=49.
2. Верхнее основание A₁B₁C₁D₁E₁F₁ — правильный шестиугольник со стороной 49. Отрезок E₁A₁ соединяет вершину E₁ с соседней вершиной A₁? Нет, в правильном шестиугольнике ABCDEF порядок вершин такой, что A соседствует с B и F. Следовательно, A₁ соседствует с B₁ и F₁. Вершина E₁ соседствует с D₁ и F₁. Таким образом, A₁ и E₁ не являются соседними вершинами. Давайте проверим структуру основания. Правильный шестиугольник состоит из 6 равносторонних треугольников с центром. Расстояние от центра до вершины равно стороне. Но нам нужно расстояние между A₁ и E₁. В основании ABCDEF: AB=BC=CD=DE=EF=FA=a. Диагонали, выходящие из одной вершины, например из A: AC, AD, AE. AD — большая диагональ (2a). AC и AE — малые диагонали. Длина малой диагонали правильного шестиугольника со стороной a равна a3. Так как A₁ и E₁ соответствуют вершинам A и E нижнего основания, то длина отрезка A₁E₁ равна длине диагонали AE основания. Следовательно, A₁E₁=493.
3. Теперь рассмотрим треугольник E₁EA₁. Его стороны: EE₁=49, A₁E₁=493, EA₁ — диагональ боковой грани AA₁E₁E? Нет, EA₁ соединяет нижнюю вершину E и верхнюю вершину A₁. Это пространственная диагональ или диагональ грани? Грань, содержащая E и A₁, это не одна плоская грань призмы. Точки E,A,A_1,E₁ лежат в одной плоскости только если EA — сторона основания. Но EA — диагональ основания. Значит, EAA₁E₁ — это сечение призмы плоскостью, проходящей через диагональ EA основания и соответствующую ей диагональ E₁A₁ верхнего основания. Это сечение является прямоугольником, так как боковые рёбра перпендикулярны основанию. Стороны этого прямоугольника: EE₁=AA₁=49 и EA=E₁A₁=493. Тогда диагональ этого прямоугольника EA₁ равна EE21+E₁A21=49²+(493)²=49²(1+3)=49·2=98.
4. Итак, в треугольнике E₁EA₁ стороны равны: EE₁=49, E₁A₁=493, EA₁=98. Проверим, является ли этот треугольник прямоугольным. По теореме Пифагора: EE21+E₁A21=49²+(493)²=49²(1+3)=49²·4=(49·2)²=98²=EA21. Равенство выполняется, значит, треугольник E₁EA₁ прямоугольный с гипотенузой EA₁. Прямой угол находится напротив гипотенузы, то есть ∠EE₁A₁=90^°.
5. Нам нужно найти угол E₁EA₁. Обозначим его за α. В прямоугольном треугольнике E₁EA₁ катеты прилежащий и противолежащий относительно угла α: Прилежащий катет к углу E — это EE₁=49. Противолежащий катет к углу E — это E₁A₁=493. Гипотенуза — EA₁=98. Можно использовать тангенс: tanα=E₁A₁/EE₁=493/49=3. Или синус: sinα=E₁A₁/EA₁=493/98=3/2. Или косинус: cosα=EE₁/EA₁=49/98=1/2. Все три значения соответствуют углу 60^°.

Проверка:

Углы правильного шестиугольника равны 120^°. Треугольник AFE равнобедренный (AF=FE=49, угол F=120^°). Основание AE=2·49·sin(60^°)=98·3/2=493. Это подтверждает длину A₁E₁. Боковая грань, проходящая через A и E, не является гранью призмы, но сечение AA₁E₁E — прямоугольник. Диагональ EA₁ отсекает треугольник E₁EA₁. Угол между диагональю прямоугольника и его меньшей стороной (высотой призмы) равен arctan(основание/высота)=arctan(3)=60^°. Ответ корректен.