ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 237: 32. Остроугольный, прямоугольный и тупоугольный треугольники

План решения.

Чтобы проверить истинность утверждения, нужно рассмотреть все возможные случаи расположения внешнего угла относительно вершин равнобедренного треугольника. Внешний угол равен сумме двух несмежных с ним внутренних углов. Нам нужно выяснить, всегда ли выполняется соотношение: внешний угол =2× (один из несмежных внутренних углов). Если мы найдем хотя бы один контрпример, утверждение будет ложным.

Вычисление и анализ случаев.

Пусть дан равнобедренный треугольник ABC с основанием AC. Тогда углы при основании равны: ∠A=∠C=α, а угол при вершине ∠B=β. Сумма углов треугольника: 2α+β=180^°.

• Случай 1: Внешний угол при вершине B.
  Внешний угол при вершине B равен сумме несмежных углов A и C: γ_B=α+α=2α.
  Несмежные внутренние углы — это ∠A и ∠C, оба равны α.
  Проверяем условие: верно ли, что γ_B=2·∠A? Да, так как 2α=2·α. В этом случае утверждение выполняется.
• Случай 2: Внешний угол при основании A.
  Внешний угол при вершине A равен сумме несмежных углов B и C: γ_A=β+α.
  Несмежные внутренние углы — это ∠B (β) и ∠C (α).
  Утверждение гласит, что один из внешних углов в 2 раза больше несмежного внутреннего. Проверим, может ли γ_A=2β или γ_A=2α.
  Если γ_A=2α, то β+α=2α⇒β=α. Это возможно только для равностороннего треугольника (частный случай равнобедренного).
  Если γ_A=2β, то β+α=2β⇒α=β. Опять же, только для равностороннего.
  Однако возьмем произвольный равнобедренный треугольник, например, с углами 30^°,30^°,120^°. Здесь α=30^°,β=120^°.
  γ_A=120^°+30^°=150^°.
  Сравним с несмежными углами:
  2·∠B=2·120^°=240^°≠150^°.
  2·∠C=2·30^°=60^°≠150^°.
  Таким образом, для внешнего угла при основании в общем случае равенство не выполняется.

Проверка и вывод.

Утверждение говорит: «если треугольник равнобедренный, то один из его внешних углов...». Логическая связка «один из» означает существование такого угла. Мы показали, что внешний угол при вершине против основания всегда равен удвоенному углу при основании (2α). Следовательно, такой угол действительно существует в любом равнобедренном треугольнике.

Но давайте внимательно прочитаем формулировку задачи ещё раз: «один из его внешних углов в 2 раза больше несмежного с ним внутреннего угла».

Рассмотрим внешний угол при вершине B. Он равен 2α. Несмежные с ним углы — ∠A и ∠C. Оба они равны α. Действительно, 2α=2·α. Условие выполнено.

Рассмотрим внешний угол при основании A. Он равен α+β. Несмежные углы — β и α. Чтобы утверждение было истинным для всех равнобедренных треугольников, достаточно, чтобы оно выполнялось хотя бы для одного внешнего угла в каждом таком треугольнике. Поскольку внешний угол при вершине против основания всегда удовлетворяет условию, утверждение является истинным.

Ответ: Да, утверждение истинно.