ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 238: 32. Остроугольный, прямоугольный и тупоугольный треугольники

План доказательства:

• Обозначим равнобедренный треугольник ABC с основанием AC и вершиной B.
• Вспомним свойства углов при основании равнобедренного треугольника: они равны.
• Рассмотрим внешний угол при вершине B и его биссектрису.
• Используем признак параллельности прямых (равенство накрест лежащих или соответственных углов).

Ход решения:

Пусть дан равнобедренный треугольник ABC, где AB=BC, а AC — основание. Тогда углы при основании равны: ∠BAC=∠BCA. Обозначим величину каждого из этих углов через α. То есть ∠BAC=α и ∠BCA=α.

Рассмотрим внешний угол при вершине B. Пусть луч BD является продолжением стороны CB за точку B. Тогда внешний угол ∠ABD смежный с внутренним углом ∠ABC. По теореме о внешнем угле треугольника, внешний угол равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. Следовательно: ∠ABD=∠BAC+∠BCA=α+α=2α.

По условию задачи, пусть BE — биссектриса внешнего угла ∠ABD. Значит, она делит этот угол пополам: ∠ABE=1/2∠ABD=1/2·2α=α.

Теперь сравним угол ∠ABE и угол ∠BAC. Мы получили, что ∠ABE=α и ∠BAC=α. Эти углы являются накрест лежащими при пересечении прямых AC и BE секущей AB. Поскольку накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны: AC∥BE.

Проверка:

Логика построена верно. Внешний угол при вершине действительно равен удвоенному углу при основании в равнобедренном треугольнике. Биссектриса этого внешнего угла образует с боковой стороной угол, равный углу при основании. Равенство накрест лежащих углов гарантирует параллельность основания и биссектрисы.