ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 243: Неравенство треугольника

План доказательства:

Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC с основанием AC. Пусть точка M лежит на основании AC, причём M не совпадает ни с вершиной A, ни с вершиной C. Нам нужно сравнить длину отрезка BM (соединяющего точку основания с противоположной вершиной B) и длину боковой стороны, например, AB.

Для этого воспользуемся свойством углов при основании равнобедренного треугольника и теоремой о соотношении между сторонами и углами в треугольнике. В любом треугольнике против большего угла лежит большая сторона.

Ход решения:

1. Так как треугольник ABC равнобедренный (AB=BC), то углы при его основании равны: ∠BAC=∠BCA. Обозначим величину этих углов через α.

2. Рассмотрим треугольник ABM. Его углы — это ∠BAM, ∠ABM и ∠AMB. Заметим, что угол ∠BAM совпадает с углом ∠BAC исходного треугольника, поэтому ∠BAM=α.

3. Угол ∠AMB является внешним для треугольника BMC (если рассматривать его относительно вершины M) или просто углом треугольника ABM. Давайте проанализируем связь углов ∠AMB и α более строго.

4. Проще рассмотреть треугольник BMC. В нём угол ∠BCM=α. Угол ∠BMC является смежным с углом ∠BMA. Однако наиболее прямой путь — использовать неравенство треугольника или свойства проекции.

5. Используем метод сравнения углов в треугольнике ABM. Сумма углов треугольника ABM равна 180^°: ∠BAM+∠ABM+∠AMB=180^°. Отсюда ∠AMB=180^°-α-∠ABM.

6. Теперь рассмотрим треугольник CBM. Аналогично, сумма углов равна 180^°: ∠BCM+∠CBM+∠CMB=180^°. Так как ∠BCM=α, то ∠CMB=180^°-α-∠CBM.

7. Заметим, что точки A,M,C лежат на одной прямой, поэтому ∠AMB+∠CMB=180^°. Подставим выражения из пунктов 5 и 6: (180^°-α-∠ABM)+(180^°-α-∠CBM)=180^°. 360^°-2α-(∠ABM+∠CBM)=180^°. Поскольку ∠ABM+∠CBM=∠ABC, получаем уравнение, которое верно по определению суммы углов треугольника ABC, но оно не даёт прямого сравнения сторон BM и AB.

8. Вернёмся к геометрическому смыслу. Опустим высоту BH из вершины B на основание AC. В прямоугольном треугольнике ABH гипотенуза AB всегда больше катета BH. Если точка M совпадает с H, то BM=BH<AB. Если точка M не совпадает с H, то BM является гипотенузой прямоугольного треугольника BHM (где H — проекция B на AC). Тогда BM>BH. Но нам нужно доказать, что BM<AB.

9. Сравним углы ∠BAM и ∠BMA в треугольнике ABM. Мы знаем, что ∠BAM=α. Чему равен ∠BMA? Угол ∠BMA является внешним для треугольника BMC? Нет, он внутренний. Рассмотрим угол ∠BMC. Он внешний для треугольника ABM? Да, если продолжить сторону AM. Но проще: угол ∠BMA тупой или острый?

10. Воспользуемся тем фактом, что в равнобедренном треугольнике высота, опущенная на основание, попадает внутрь основания. Пусть H — середина AC. Для любой точки M на отрезке AC (кроме концов), расстояние BM минимально при M=H (высота) и возрастает по мере удаления от H к концам A или C. Максимальное значение BM достигается только когда M совпадает с A или C, тогда BM=BA или BM=BC. Поскольку по условию M отлична от вершин основания, то M находится строго внутри отрезка AC. Следовательно, длина отрезка BM строго меньше длины боковой стороны AB (или BC).

11. Строгое доказательство через углы: В треугольнике ABM угол ∠A=α. Угол ∠AMB можно выразить через угол ∠C треугольника BMC. Угол ∠AMB является внешним для треугольника BMC? Нет. Угол ∠BMC является внешним для треугольника ABM? Нет. Но угол ∠AMB и угол ∠BMC в сумме дают 180^°. В треугольнике BMC угол ∠C=α. Сумма двух других углов ∠MBC+∠BMC=180^°-α. Значит, ∠BMC<180^°-α. Тогда ∠AMB=180^°-∠BMC>180^°-(180^°-α)=α. Таким образом, в треугольнике ABM мы имеем ∠AMB>∠BAM (так как ∠BAM=α). Против большего угла лежит большая сторона. Поэтому сторона AB (лежащая против угла ∠AMB) больше стороны BM (лежащей против угла ∠BAM).

Проверка:

Логика верна: мы показали, что угол ∠AMB больше угла ∠A. Это следует из того, что ∠A и ∠C равны, а ∠AMB является внешним углом для треугольника BMC относительно вершины M? Нет, давайте перепроверим шаг 11. Угол ∠AMB — это угол при вершине M в треугольнике ABM. Угол ∠BMC — смежный ему. В треугольнике BMC: ∠C=α. Сумма углов: ∠MBC+∠BMC+α=180^°. Отсюда ∠BMC=180^°-α-∠MBC. Так как ∠MBC>0 (точка M не совпадает с C), то ∠BMC<180^°-α. Тогда ∠AMB=180^°-∠BMC>180^°-(180^°-α)=α. То есть ∠AMB>∠A. В треугольнике ABM против угла ∠AMB лежит сторона AB, а против угла ∠A лежит сторона BM. Следовательно, AB>BM. Доказательство корректно.